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Binomischer Lehrsatz

Autor: Leandro Alegsa

01-11-2021

Die Binomialexpansion verwendet einen Ausdruck, um eine Reihe zu bilden. Sie verwendet einen Klammerausdruck wie ( x + y ) n {\darstellungsstil (x+y)^{n}}} $(x+y)^{n}$ . Es gibt drei Binomialerweiterungen.

Die Formeln

Es gibt grundsätzlich drei binomiale Expansionsformeln:

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\Anzeigeart (a+b)^{2}=a^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}} $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$		1. (Plus)
( a - b ) 2 = a 2 - 2 a b + b 2 {\Anzeigestil (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}} $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$		2. (Minus)
( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a 2 - b 2 {\darstellungsstil (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}} $(a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}$		3. (Plus-Minus)

Wir können erklären, warum es solche 3 Formeln gibt, mit einer einfachen Erweiterung des Produkts:

( a + b ) 2 = ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {\darstellungsstil (a+b)^{2}=(a+b)\cPunkt (a+b)=a\cPunkt a+a\cPunkt b+b\cPunkt a+b\cPunkt b=a^{2}+2\cPunkt a\cPunkt b+b^{2}}} $(a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$

( a - b ) 2 = ( a - b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b - b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 - 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {\darstellungsstil (a-b)^{2}=(a-b)\cPunkt (a-b)=a\cPunkt a-a\cPunkt b-b\cPunkt a+b\cPunkt b=a^{2}-2\cPunkt a\cPunkt b+b^{2}}} $(a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$

( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b + b ⋅ a - b ⋅ b = a 2 - b 2 {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}}} $(a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}$

Verwendung des Pascal'schen Dreiecks

Wenn n {\displaystyle n} eine ganze Zahl ist ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } $n\in \mathbb {Z}$ ), verwenden wir das Pascal'sche Dreieck.

Erweitern ( x + y ) 2 {\Anzeigeart (x+y)^{2}} $(x+y)^{2}$ :

Reihe 2 des Pascal'schen Dreiecks finden (1, 2, 1)
Erweitern Sie x {\Anzeigestil x} und y {\Anzeigestil y}, so dass die Leistung x {\Anzeigestil x} jedes Mal um 1 von n {\Anzeigestil n} auf 0 sinkt und die Leistung y {\Anzeigestil y} jedes Mal um 1 von 0 bis n {\Anzeigestil n} steigt.
mal die Zahlen aus dem Pascal'schen Dreieck mit den richtigen Begriffen.

Also ( x + y ) 2 = 1 x 2 y 0 + 2 x 1 y 1 + 1 x 0 y 2 {\Anzeigestil (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}}} $(x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}$

Zum Beispiel:

( 3 + 2 x ) 2 = 1 ⋅ 3 2 ⋅ ( 2 x ) 0 + 2 ⋅ 3 1 ⋅ ( 2 x ) 1 + 1 ⋅ 3 0 ⋅ ( 2 x ) 2 = 9 + 12 x + 4 x 2 {\Anzeigestil (3+2x)^{2}=1\cPunkt 3^{2}\cPunkt (2x)^{0}+2\cPunkt 3^{1}\cPunkt (2x)^{1}+1\cPunkt 3^{0}\cPunkt (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}}} $(3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}$

Also in der Regel:

( x + y ) n = a 0 x n y 0 + a 1 x n - 1 y 1 + a 2 x n - 2 y 2 + ⋯ + a n - 1 x 1 y n - 1 + a n x 0 y n {\darstellungsstil (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}} $(x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}$

wobei a i {\darstellungsstil a_{i}} $a_{i}$ die Zahl in Zeile n {\darstellungsstil n} und die Position i {\darstellungsstil i} $i$ in Pascals Dreieck ist.

Beispiele

( 5 + 3 x ) 3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( 3 x ) 0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( 3 x ) 1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( 3 x ) 2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( 3 x ) 3 {\darstellungsstil (5+3x)^{3}=1\cPunkt 5^{3}\cPunkt (3x)^{0}+3\cPunkt 5^{2}\cPunkt (3x)^{1}+3\cPunkt 5^{1}\cPunkt (3x)^{2}+1\cPunkt 5^{{0}\cPunkt (3x)^{3}}} $(5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}$

= 125 + 75 ⋅ 3 x + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ 27 x 3 = 125 + 225 x + 135 x 2 + 27 x 3 {\displaystyle =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}} $=125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}$

( 5 - 3 x ) 3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( - 3 x ) 0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( - 3 x ) 1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( - 3 x ) 2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( - 3 x ) 3 {\darstellungsstil (5-3x)^{3}=1\cPunkt 5^{3}\cPunkt (-3x)^{0}+3\cPunkt 5^{2}\cPunkt (-3x)^{1}+3\cPunkt 5^{1}\cPunkt (-3x)^{2}+1\cPunkt 5^{{0}\cPunkt (-3x)^{3}}} $(5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}$

= 125 + 75 ⋅ ( - 3 x ) + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ ( - 27 x 3 ) = 125 - 223 x + 135 x 2 - 27 x 3 {\displaystyle =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}} $=125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}$

( 7 + 4 x 2 ) 5 = 1 ⋅ 7 5 ⋅ ( 4 x 2 ) 0 + 5 ⋅ 7 4 ⋅ ( 4 x 2 ) 1 + 10 ⋅ 7 3 ⋅ ( 4 x 2 ) 2 + 10 ⋅ 7 2 ⋅ ( 4 x 2 ) 3 + 5 ⋅ 7 1 ⋅ ( 4 x 2 ) 4 + 1 ⋅ 7 0 ⋅ ( 4 x 2 ) 5 {\darstellungsstil (7+4x^{2})^{5}=1\cPunkt 7^{5}\cPunkt (4x^{{2})^{0}+5\cPunkt 7^{4}\cPunkt (4x^{{2})^{1}+10\cPunkt 7^{3}\cPunkt (4x^{{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{{2})^{3}+5\cdot 7^{{1}\cdot (4x^{{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{{2})^{5}}} $(7+4x^{2})^{5}=1\cdot 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}$

= 16807 + 12005 ⋅ 4 x 2 + 3430 ⋅ 16 x 4 + 490 ⋅ 64 x 6 + 35 ⋅ 256 x 8 + 1 ⋅ 1024 x 10 {\displaystyle =16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}} $=16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}$

= 16807 + 48020 x 2 + 54880 x 4 + 31360 x 6 + 8960 x 8 + 1024 x 10 {\Anzeigestil \,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}} $\,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}$

Fragen und Antworten

F: Was ist die Binomische Expansion?

A: Die binomische Expansion ist eine mathematische Methode, bei der ein Ausdruck verwendet wird, um eine Reihe mit dem Klammerausdruck (x+y)^n zu erstellen.

F: Was ist das Grundkonzept der Binomialerweiterung?

A: Das Grundkonzept der binomischen Expansion besteht darin, die Potenz eines binomischen Ausdrucks in eine Reihe zu erweitern.

F: Was ist ein binomischer Ausdruck?

A: Ein binomischer Ausdruck ist ein algebraischer Ausdruck mit zwei Termen, die durch ein Plus- oder Minuszeichen verbunden sind.

F: Wie lautet die Formel für die Binomialerweiterung?

A: Die Formel für die binomische Erweiterung lautet (x+y)^n, wobei n der Exponent ist.

F: Wie viele Arten von binomischen Expansionen gibt es?

A: Es gibt drei Arten von binomischen Expansionen.

F: Was sind die drei Arten von binomischen Erweiterungen?

A: Die drei Arten der binomischen Erweiterung sind - erste binomische Erweiterung, zweite binomische Erweiterung und dritte binomische Erweiterung.

F: Wie nützlich ist die Binomialerweiterung bei mathematischen Berechnungen?

A: Die Binomialerweiterung ist bei mathematischen Berechnungen nützlich, da sie hilft, komplizierte Ausdrücke zu vereinfachen und komplexe Probleme zu lösen.