Elastische Kollision

Eine elastische Kollision liegt vor, wenn zwei Objekte zusammenstoßen und mit geringer oder keiner Verformung zurückprallen. Beispielsweise wären zwei Gummibälle, die zusammen zurückprallen, elastisch. Zwei aufeinander prallende Autos wären unelastisch, da die Autos zerknittern und nicht zurückprallen. Bei einer vollkommen elastischen Kollision (der einfachste Fall) geht keine kinetische Energie verloren, so dass die kinetische Energie der beiden Objekte nach der Kollision gleich ihrer gesamten kinetischen Energie vor der Kollision ist. Elastische Kollisionen treten nur dann auf, wenn es keine Nettoumwandlung der kinetischen Energie in andere Formen (Wärme, Schall) gibt. Die andere Regel, die bei der Arbeit mit elastischen Kollisionen zu beachten ist, ist, dass der Impuls erhalten bleibt.

Eine Probe einer elastischen Kollision ungleicher Massen

Eindimensionaler Newtonscher

Betrachten Sie zwei Partikel, die durch die Indizes 1 und 2 gekennzeichnet sind. Seien m1 und _m2 die Massen, u1 und u2 die Geschwindigkeiten vor der Kollision und v1 und v2 die Geschwindigkeiten nach der Kollision.

Verwendung der Impulserhaltung zum Schreiben einer Formel

Da es sich um eine elastische Kollision handelt, ist der Gesamtimpuls vor der Kollision derselbe wie der Gesamtimpuls nach der Kollision. Unter der Voraussetzung, dass der Impuls (p) berechnet wird als

p = m v {\Anzeige-Stil \,\!p=mv} $\,\!p=mv$

Wir können berechnen, wie groß der Impuls vor der Kollision sein wird:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\Anzeigestil \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

und den Schwung nach der Kollision zu sein:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\Anzeigestil \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} $\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Die Gleichsetzung der beiden gibt uns unsere erste Gleichung:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\Anzeigestil \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Mit Energieeinsparung eine zweite Formel schreiben

Die zweite Regel, die wir anwenden, ist, dass die gesamte kinetische Energie gleich bleibt, was bedeutet, dass die kinetische Anfangsenergie gleich der kinetischen Endenergie ist.

Die Formel für die kinetische Energie lautet:

m v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}} ${\frac {mv^{2}}{2}}$

Es werden also die gleichen Variablen wie zuvor verwendet: Die anfängliche kinetische Energie ist:

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}$

Die endgültige kinetische Energie ist:

m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\Anzeigestil {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}}. } ${\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Gleichsetzen der beiden (da die gesamte kinetische Energie gleich bleibt):

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\Anzeigestil {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}}. } ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Zusammenstellen dieser beiden Gleichungen

Diese Gleichungen können direkt gelöst werden, um _vi zu finden, wenn ui bekannt sind, oder umgekehrt. Hier ist ein Beispielproblem, das entweder mit der Impulserhaltung oder der Energieerhaltung gelöst werden kann:

Zum Beispiel:

Kugel 1: Masse = 3 kg, v = 4 m/s

Kugel 2: Masse = 5 kg, v = -6 m/s

Nach der Kollision:

Kugel 1: v = -8,5 m/s

Ball 2: v = unbekannt ( Wir vertreten ihn mit v )

Einsatz von Impulserhaltung:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8.5 ) + 5 ∗ v {\darstellungsstil \ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v} $\ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v$

Nach Multiplikation und anschließender Subtraktion von 3 ∗ ( - 8.5 ) {\darstellungsstil 3*(-8.5)} $3*(-8.5)$ von beiden Seiten erhalten wir:

12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\darstellungsstil \ 12-30+25,5=5*v} $\ 12-30+25.5=5*v$

Wenn wir die linke Seite zusammenfassen und dann durch 5 dividieren $5$ , erhalten wir eine 5er-Darstellung:

7.5 5 = v {\darstellungsstil {\frac {\frac {7.5}{5}}}=v} ${\frac {7.5}{5}}=v$ , und das Durchführen der endgültigen Einteilung gibt uns: 1,5 = v {\darstellungsstil \ 1,5=v} $\ 1.5=v$

Wir hätten dieses Problem auch durch Energieeinsparung lösen können:

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\darstellungsstil {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

3 ∗ 4 2 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 2 = 3 ( - 8.5 ) 2 2 + 5 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {\frac {3*4^{2}}}{2}}}+{\frac {5*(-6)^{2}}}}={\frac {3(-8.5)^{2}}}{2}}}+{\frac {5v^{2}}}{2}} ${\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}$

Wenn wir beide Seiten mit 2 multiplizieren $2$ und dann alle erforderlichen Multiplikationen vornehmen, erhalten wir die Ergebnisse:

48 + 180 = 216.75 + 5 v 2 {\Anzeigestil \ 48+180=216.75+5v^{2}}} $\ 48+180=216.75+5v^{2}$

Addiert man die Zahlen auf der linken Seite, subtrahiert 216,75 $216.75$ von beiden Seiten und dividiert durch 5 $5$ ergibt das 216,75 {\Displaystyle 5}:

2.25 = v 2 {\Anzeigestil \ 2.25=v^{2}}} $\ 2.25=v^{2}$

Nimmt man die Quadratwurzel beider Seiten, erhält man eine Antwort von v = ± 1,5 {\darstellungsstil v=\pm 1,5} $v=\pm 1.5$ .

Leider müssten wir immer noch die Impulserhaltung nutzen, um herauszufinden, ob v {\Darstellungsstil v} positiv oder negativ ist. $v$

Fragen und Antworten

F: Was ist eine elastische Kollision?

A: Eine elastische Kollision liegt vor, wenn zwei Objekte zusammenstoßen und mit geringer oder gar keiner Verformung zurückprallen.

F: Was ist ein Beispiel für einen elastischen Aufprall?

A: Zwei zusammenprallende Gummibälle wären ein Beispiel für einen elastischen Stoß.

F: Was ist ein unelastischer Aufprall?

A: Ein unelastischer Zusammenstoß liegt vor, wenn zwei Objekte zusammenstoßen und zusammenfallen, ohne dass sie zurückprallen.

F: Was ist ein Beispiel für einen unelastischen Aufprall?

A: Ein Beispiel für einen unelastischen Zusammenstoß wäre der Zusammenstoß zweier Autos.

F: Was geschieht bei einem vollkommen elastischen Aufprall?

A: Bei einem vollkommen elastischen Zusammenstoß geht keine kinetische Energie verloren, so dass die kinetische Energie der beiden Objekte nach dem Zusammenstoß gleich ihrer gesamten kinetischen Energie vor dem Zusammenstoß ist.

F: Wie kommt es zu elastischen Zusammenstößen?

A: Elastische Stöße treten nur dann auf, wenn es keine Nettoumwandlung von Bewegungsenergie in andere Formen wie Wärme oder Schall gibt.

F: Was bleibt bei einer elastischen Kollision erhalten?

A: Bei einer elastischen Kollision bleibt der Impuls erhalten.