Vollständige Induktion
Die mathematische Induktion ist eine besondere Art des Nachweises einer mathematischen Wahrheit. Sie kann dazu verwendet werden, um zu beweisen, dass für alle natürlichen Zahlen (alle positiven ganzen Zahlen) etwas wahr ist. Die Idee ist, dass
- Für den ersten Fall trifft etwas zu
- Dasselbe gilt immer für den nächsten Fall
dann
- Dasselbe gilt für jeden Fall
In der sorgfältigen Sprache der Mathematik:
- Geben Sie an, dass der Beweis durch Induktion über n {\Darstellungsstil n} erfolgen wird
. ( n {\Darstellungsstil n} ist die Induktionsvariable). - Zeigen Sie, dass die Aussage wahr ist, wenn n {\Darstellungsstil n} gleich 1 ist.
- Nehmen Sie an, dass die Aussage für jede natürliche Zahl n {\Darstellungsstil n} wahr ist. (Dies wird als Induktionsschritt bezeichnet).
- Zeigen Sie dann, dass die Aussage für die nächste Zahl, n + 1 {\darstellungsstil n+1}
wahr ist.
Denn es gilt für 1, dann gilt es für 1+1 (=2, durch den Induktionsschritt), dann gilt es für 2+1 (=3), dann gilt es für 3+1 (=4), und so weiter.
Ein Beispiel für den Beweis durch Induktion:
Beweisen Sie dies für alle natürlichen Zahlen n:
1 + 2 + 3 + . . . . + ( n - 1 ) + n = 1 2 n ( n + 1 ) {\Anzeigestil 1+2+3+....
Beweise:
Zunächst kann die Aussage geschrieben werden: für alle natürlichen Zahlen n
2 ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) {\darstellungsstil 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)} 
Durch Induktion auf n,
Erstens, für n=1:
2 ∑ k = 1 1 k = 2 ( 1 ) = 1 ( 1 + 1 ) {\darstellungsart 2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)} 
,
Das ist also wahr.
Nehmen Sie als nächstes an, dass für einige n=n0 die Aussage wahr ist. Das heißt:
2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {\darstellungsart 2\sum _{k=1}^{n_{0}}}k=n_{0}(n_{0}+1)} {\darstellungsart 2\sum _{k=1}^{n_{0}}}k=n_{0}(n_{0}+1)} 
Dann für n=n0+1:
2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k {\darstellungsstil 2\sum _{k=1}^{{{{n_{0}}}+1}k} 
kann umgeschrieben werden
2 ( ∑ k = 1 n 0 k + ( n 0 + 1 ) ) {\Anzeigestil 2\links(\sum _{k=1}^{n_{0}}}k+(n_{0}+1)\rechts)} 
Seit 2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) , {\darstellungsstil 2\sum _{k=1}^{n_{0}}}k=n_{0}(n_{0}+1),} 
2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k = n 0 ( n 0 + 1 ) + 2 ( n 0 + 1 ) = ( n 0 + 1 ) ( n 0 + 2 ) {\darstellungsstil 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)} {\darstellungsstil 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)} 
Daher ist der Beweis richtig.
Ähnliche Beweise
Mathematische Induktion wird oft mit dem Anfangswert 0 (statt 1) angegeben. Tatsächlich funktioniert sie genauso gut mit einer Vielzahl von Startwerten. Hier ist ein Beispiel, bei dem der Startwert 3 ist. Die Summe der Innenwinkel eines n {\Darstellungsstil n} -seitigen Polygons beträgt ( n - 2 ) 180 {\Darstellungsstil (n-2)180}
Grad.
Der anfängliche Startwert ist 3, und die Innenwinkel eines Dreiecks betragen ( 3 - 2 ) 180 {\darstellungsstil (3-2)180}
Grad. Nehmen wir an, dass die Innenwinkel eines n-seitigen Polygons vom Typ n ( n - 2 ) 180 {\Darstellungsstil (n-2)180} Grad betragen. Addieren Sie ein Dreieck, das die Figur zu einem n + 1 {\Darstellungsstil n+1} macht. -seitiges Polygon, und das erhöht die Anzahl der Winkel um 180 Grad ( n - 2 ) 180 + 180 = ( n + 1 - 2 ) 180 {\darstellungsstil (n-2)180+180=(n+1-2)180} 
Grad. Bewährt.
Es gibt sehr viele mathematische Objekte, für die Beweise durch mathematische Induktionsarbeiten vorliegen. Der Fachbegriff ist eine gut geordnete Menge.
Induktive Definition
Dieselbe Idee kann sowohl zur Definition als auch zum Nachweis dienen.
Definieren Sie n {\Darstellungsstil n} den Grad Cousin:
- Ein Cousin 1.
Grades ist das Kind eines Geschwisters eines Elternteils - Ein n + 1 {\Darstellungsstil n+1} st Grad Cousin ist das Kind eines n {\Darstellungsstil n} st Grad Cousins eines Elternteils.
Es gibt eine Reihe von Axiomen für die Arithmetik der natürlichen Zahlen, die auf mathematischer Induktion beruht. Dies wird "Peano's Axiome" genannt. Die undefinierten Symbole sind | und =. Die Axiome sind
- | ist eine natürliche Zahl
- Wenn n {\Darstellungsstil n} eine natürliche Zahl ist, dann ist n | {\Darstellungsstil n|}
eine natürliche Zahl - Wenn n | = m | {\Anzeigestil n|=m|}
dann n = m {\Anzeigestil n=m} 
Man kann dann die Operationen der Addition und Multiplikation usw. durch mathematische Induktion definieren. Zum Beispiel:
- m + | | = m | {\Anzeigestil m+|=m|}
- m + n | = ( m + n ) | | {\Anzeigeart m+n|=(m+n)|}
Fragen und Antworten
F: Was ist mathematische Induktion?
A: Die mathematische Induktion ist eine besondere Art des Beweises einer mathematischen Wahrheit, mit der man beweisen kann, dass etwas für alle natürlichen Zahlen oder positiven Zahlen ab einem bestimmten Punkt wahr ist.
F: Wie läuft der Beweis durch Induktion ab?
A: Der Beweis durch Induktion geht typischerweise so vor, dass man festlegt, dass der Beweis über n durchgeführt wird, zeigt, dass die Aussage wahr ist, wenn n gleich 1 ist, nimmt an, dass die Aussage für jede natürliche Zahl n wahr ist, und zeigt dann, dass sie für die nächste Zahl (n+1) wahr ist.
F: Was bedeutet es, in einem induktiven Schritt etwas anzunehmen?
A: Etwas in einem induktiven Schritt anzunehmen bedeutet, es als wahr zu akzeptieren, ohne einen Beweis zu erbringen oder zu beweisen. Sie dient als Ausgangspunkt für weitere Untersuchungen.
F: Welche Art von Zahlen werden bei der mathematischen Induktion verwendet?
A: Bei der mathematischen Induktion werden typischerweise natürliche Zahlen oder ab einem bestimmten Punkt positive Zahlen verwendet.
F: Wie zeigt man, dass etwas für die nächste Zahl (n+1) wahr ist?
A: Um zu zeigen, dass etwas für die nächste Zahl (n+1) wahr ist, müssen Sie zuerst beweisen, dass es wahr ist, wenn n=1 ist, und dann Ihre Annahme aus dem induktiven Schritt verwenden, um zu zeigen, dass es auch für n+1 wahr ist.
