In der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihren Anwendungen zeigt das Bayes'sche Theorem die Beziehung zwischen einer bedingten Wahrscheinlichkeit und ihrer umgekehrten Form. Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit einer Hypothese bei einigen beobachteten Beweisen und die Wahrscheinlichkeit dieses Beweises bei der Hypothese. Dieses Theorem ist nach Thomas Bayes benannt (/ˈbeɪz/ oder "bays") und wird oft als Bayes'sches Gesetz oder Bayes'sche Regel bezeichnet.
Satz von Bayes
Formel
Die verwendete Gleichung lautet:
P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) . {\Anzeigestil P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}}. } 
Wo:
- P(A) ist die Prioritäts- oder Randwahrscheinlichkeit von A. Sie ist "prior" in dem Sinne, dass sie keine Informationen über B berücksichtigt.
- P(A|B) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, gegeben durch B. Sie wird auch die nachträgliche Wahrscheinlichkeit genannt, weil sie von dem angegebenen Wert von B abgeleitet ist oder von diesem abhängt.
- P(B|A) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von B bei A. Sie wird auch als Wahrscheinlichkeit bezeichnet.
- P(B) ist die vorherige oder marginale Wahrscheinlichkeit von B und wirkt als normalisierende Konstante.
Beispiel
Ein einfaches Beispiel ist das folgende: Es besteht eine 40%ige Chance, dass es am Sonntag regnet. Wenn es am Sonntag regnet, besteht eine 10%ige Chance, dass es am Montag regnet. Wenn es am Sonntag nicht geregnet hat, besteht eine Chance von 80%, dass es am Montag regnet.
"Es regnet am Sonntag" ist Ereignis A, und "Es regnet am Montag" ist Ereignis B.
- P( A ) = 0,40 = Regenwahrscheinlichkeit am Sonntag.
- P( A` ) = 0,60 = Wahrscheinlichkeit, dass es am Sonntag nicht regnet.
- P( B | A ) = 0,10 = Regenwahrscheinlichkeit am Montag, wenn es am Sonntag regnet.
- P( B` | A ) = 0,90 = Wahrscheinlichkeit, dass es am Montag nicht regnet, wenn es am Sonntag regnet.
- P( B | A` ) = 0,80 = Regenwahrscheinlichkeit am Montag, wenn es am Sonntag nicht geregnet hat.
- P( B` |A` ) = 0,20 = Wahrscheinlichkeit, dass es am Montag nicht regnet, wenn es am Sonntag nicht geregnet hat.
Das erste, was wir normalerweise berechnen würden, ist die Wahrscheinlichkeit, dass es am Montag regnet: Dies wäre die Summe der Wahrscheinlichkeit von "Regen am Sonntag und Regen am Montag" und "Kein Regen am Sonntag und Regen am Montag".
0,40 × 0,10 + 0,60 × 0,80 = 0,52 = 52 % {\Anzeigestil 0,40\mal 0,10+0,60\mal 0,80=0,52=52\%}
Wahrscheinlichkeit
Aber was wäre, wenn wir sagen würden: "Es hat am Montag geregnet. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es am Sonntag geregnet hat?" Hier kommt das Bayes'sche Theorem ins Spiel. Es erlaubt uns, die Wahrscheinlichkeit eines früheren Ereignisses zu berechnen, angesichts des Ergebnisses eines späteren Ereignisses.
Die verwendete Gleichung lautet:
P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) . {\Anzeigestil P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}}. }
In unserem Fall ist "Regen am Sonntag" Ereignis A, und "Regen am Montag" ist Ereignis B.
- P(B|A) = 0,10 = Regenwahrscheinlichkeit am Montag, wenn es am Sonntag regnet.
- P(A) = 0,40 = Wahrscheinlichkeit von Regen am Sonntag.
- P(B) = 0,52 = Regenwahrscheinlichkeit am Montag.
Also, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass es am Sonntag geregnet hat, wenn man bedenkt, dass es am Montag geregnet hat:
P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) . {\Anzeigestil P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}}. }
oder:
P ( A | B ) = 0,10 ∗ 0,40 0,52 = .0769 {\darstellungsstil P(A|B)={\frac {0,10*0,40}{0,52}}}=.0769} 
Mit anderen Worten: Wenn es am Montag geregnet hat, besteht eine Wahrscheinlichkeit von 7,69%, dass es am Sonntag geregnet hat.
Intuitive Erklärung
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass es am Sonntag geregnet hat, da es am Montag geregnet hat, können wir die folgenden Schritte unternehmen:
- Wir wissen, dass es am Montag geregnet hat. Daher ist die Gesamtwahrscheinlichkeit P(B).
- Die Wahrscheinlichkeit, dass es am Sonntag geregnet hat, ist P(A).
- Die Wahrscheinlichkeit, dass es am Montag regnete, da es am Sonntag regnete, ist P(B|A).
- Die Wahrscheinlichkeit, dass es am Sonntag regnet UND am Montag regnet, ist P(A)*P(B|A).
- Daher ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass es am Sonntag geregnet hat, wenn man bedenkt, dass es am Montag geregnet hat, die Chance, dass es am Sonntag und Montag regnet, geteilt durch die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass es am Montag geregnet hat.
Deshalb,
P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) . {\Anzeigestil P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}}. }
Eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, die zeigt, woher das Bayes'sche Theorem stammt, ist die Betrachtung der Wahrscheinlichkeit P(AB), dass es sowohl am Sonntag als auch am Montag regnet. Diese kann auf zwei verschiedene Arten berechnet werden, die für P(AB) die gleiche Antwort ergeben:
P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A | B ) {\Anzeigestil P(A)\,P(B|A)=P(B)\,P(A|B)} 
Das Bayes'sche Theorem ist nur eine andere Art, diese Gleichung zu schreiben.
Fragen und Antworten
F: Was ist das Bayes'sche Theorem?
A: Das Bayes'sche Theorem ist eine mathematische Formel, die die Beziehung zwischen einer bedingten Wahrscheinlichkeit und ihrer umgekehrten Form zeigt.
F: Wer war Thomas Bayes?
A: Thomas Bayes war ein britischer Mathematiker aus dem 18. Jahrhundert, der dieses Theorem in der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihren Anwendungen entwickelte.
F: Wie wird das Theorem verwendet?
A: Das Theorem wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit einer Hypothese anhand einiger beobachteter Indizien zu berechnen, sowie die Wahrscheinlichkeit dieser Indizien anhand der Hypothese.
F: Welche anderen Namen hat dieses Theorem?
A: Dieses Theorem ist auch als Bayes'sches Gesetz oder Bayes'sche Regel bekannt.
F: Wann hat Thomas Bayes dieses Theorem entwickelt?
A: Thomas Bayes entwickelte dieses Theorem im 18. Jahrhundert im Rahmen seiner Arbeiten zur Wahrscheinlichkeitstheorie und ihren Anwendungen.
F: Wie spricht man "Bayes" aus?
A: "Bayes" wird /ˈbeɪz/ oder "bays" ausgesprochen.