Wavelet-Transformation

Die Wavelet-Transformation ist eine Zeit-Frequenz-Darstellung eines Signals. Wir verwenden sie zum Beispiel zur Rauschunterdrückung, Merkmalsextraktion oder Signalkompression.

Die Wavelet-Transformation eines kontinuierlichen Signals ist definiert als

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ ψ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}}right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ ist ein so genanntes Mutter-Wavelet,
ein {\Anzeigestil a} bezeichnet die Wavelet-Dilatation,
b {\Anzeigestil b} $b$ bezeichnet die Zeitverschiebung des Wavelets und
∗ {\displaystyle *} $*$ Symbol bezeichnet komplexes Konjugat.

Im Falle von a = a 0 m {\Anzeigestil a={a_{0}}}^{m}}} $a={a_{0}}^{m}$ und b = a 0 m k T {\Anzeigestil b={a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ wobei ein 0 > 1 {\Anzeigestil a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\Darstellungsstil T>0} und m {\Darstellungsstil $T>0$ m} und k {\Darstellungsstil k} ganzzahlige Konstanten sind, wird die Wavelet-Transformation als diskrete Wavelet-Transformation (des kontinuierlichen Signals) bezeichnet.

Im Falle von a = 2 m {\Anzeigestil a=2^{m}} $a=2^{m}$ und b = 2 m k T {\Anzeigestil b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ wobei m > 0 {\darstellungsstil m>0} $m>0$ wird die diskrete Wavelet-Transformation als dyadisch bezeichnet. Sie ist definiert als

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ ψ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\links(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

m {\Anzeigestil m} ist eine Frequenzskala,
k {\Anzeigestil k} ist Zeitskala und
T {\Anzeigestil T} $T$ ist konstant, was vom Mutter-Wavelet abhängt.

Es ist möglich, die dyadische diskrete Wavelet-Transformation umzuschreiben als

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

wobei h m {\Anzeigestil h_{m}} $h_{m}$ eine Impulscharakteristik eines kontinuierlichen Filters ist, die identisch ist mit ψ m ∗ {\Anzeigestil {\psi _{m}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ für gegebene m {\Anzeigestil m} .

Analog dazu wird die dyadische Wavelet-Transformation mit diskreter Zeit (des diskreten Signals) definiert als

Kontinuierliche Wavelet-Transformation des Frequenzzusammenbruchssignals. Verwendetes Wavelet mit 5 verschwindenden Momenten.

Fragen und Antworten

F: Was ist die Wavelet-Transformation?

A: Die Wavelet-Transformation ist eine Zeit-Frequenz-Darstellung eines Signals, die zur Rauschunterdrückung, Merkmalsextraktion oder Signalkompression verwendet wird.

Q: Wie ist die Wavelet-Transformation von kontinuierlichen Signalen definiert?

A: Die Wavelet-Transformation von kontinuierlichen Signalen ist definiert als ein Integral über alle Werte einer Funktion, multipliziert mit einem Mutter-Wavelet, wobei die Parameter 'a' und 'b' die Dilatation bzw. die Zeitverschiebung bezeichnen.

F: Was sind dyadische diskrete Wavelet-Transformationen?

A: Dyadische diskrete Wavelet-Transformationen sind diskrete Versionen der regulären diskreten Wavelet-Transformationen mit Frequenzskala 'm', Zeitskala 'k' und Konstante 'T'. Sie können umgeschrieben werden als ein Integral über alle Werte einer Funktion, multipliziert mit einem impulscharakteristischen Filter, der mit dem Mutter-Wavelet für ein gegebenes m identisch ist.

F: Was bedeutet "Mutter-Wavelet" in diesem Zusammenhang?

A: In diesem Zusammenhang bezieht sich der Begriff "Mutter-Wavelet" auf Funktionen, die in Verbindung mit anderen Funktionen verwendet werden, um die Grundlage für die Berechnung einer bestimmten Art von Transformation (in diesem Fall die Wavelet-Transformation) zu bilden.

F: Wie kann man dyadische diskrete Wavelets berechnen?

A: Dyadische diskrete Wavelets werden berechnet, indem ein Integral über alle Werte einer Funktion mit einem impulscharakteristischen Filter multipliziert wird, der mit dem Mutter-Wavelet für ein gegebenes m identisch ist. Zusätzlich benötigen sie die Frequenzskala m, die Zeitskala k und die Konstante T als Parameter.

F: Was bedeuten 'a' und 'b' bei der Definition von kontinuierlichen Wavelets?

A: Bei der Definition von kontinuierlichen Wavelets steht 'a' für Dilatation und 'b' für Zeitverschiebung.