Die Wavelet-Transformation ist eine Zeit-Frequenz-Darstellung eines Signals. Wir verwenden sie zum Beispiel zur Rauschunterdrückung, Merkmalsextraktion oder Signalkompression.

Die Wavelet-Transformation eines kontinuierlichen Signals ist definiert als

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ ψ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}}right)}dt\,} {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,},

wo

  • ψ {\displaystyle \psi } \psi ist ein so genanntes Mutter-Wavelet,
  • ein {\Anzeigestil a} abezeichnet die Wavelet-Dilatation,
  • b {\Anzeigestil b} {\displaystyle b}bezeichnet die Zeitverschiebung des Wavelets und
  • ∗ {\displaystyle *}{\displaystyle *} Symbol bezeichnet komplexes Konjugat.

Im Falle von a = a 0 m {\Anzeigestil a={a_{0}}}^{m}}} {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}und b = a 0 m k T {\Anzeigestil b={a_{0}}^{m}kT} {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}wobei ein 0 > 1 {\Anzeigestil a_{0}>1} {\displaystyle a_{0}>1}, T > 0 {\Darstellungsstil T>0} und m {\Darstellungsstil{\displaystyle T>0} m} und k {\Darstellungsstilm k} kganzzahlige Konstanten sind, wird die Wavelet-Transformation als diskrete Wavelet-Transformation (des kontinuierlichen Signals) bezeichnet.

Im Falle von a = 2 m {\Anzeigestil a=2^{m}} {\displaystyle a=2^{m}}und b = 2 m k T {\Anzeigestil b=2^{m}kT} {\displaystyle b=2^{m}kT}wobei m > 0 {\darstellungsstil m>0} {\displaystyle m>0}wird die diskrete Wavelet-Transformation als dyadisch bezeichnet. Sie ist definiert als

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ ψ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\links(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,},

wo

  • m {\Anzeigestil m} mist eine Frequenzskala,
  • k {\Anzeigestil k} kist Zeitskala und
  • T {\Anzeigestil T}{\displaystyle T} ist konstant, was vom Mutter-Wavelet abhängt.

Es ist möglich, die dyadische diskrete Wavelet-Transformation umzuschreiben als

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,},

wobei h m {\Anzeigestil h_{m}}{\displaystyle h_{m}} eine Impulscharakteristik eines kontinuierlichen Filters ist, die identisch ist mit ψ m ∗ {\Anzeigestil {\psi _{m}}^{*}}{\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} für gegebene m {\Anzeigestil m} m.

Analog dazu wird die dyadische Wavelet-Transformation mit diskreter Zeit (des diskreten Signals) definiert als