Ein Wavelet ist eine mathematische Funktion, die verwendet wird, um eine Funktion oder ein Signal in Bezug auf andere Funktionen aufzuschreiben, die einfacher zu untersuchen sind. Viele Signalverarbeitungsaufgaben können in Form einer Wavelet-Transformation betrachtet werden. Informell gesprochen kann das Signal unter der Linse mit einer Vergrößerung gesehen werden, die durch den Maßstab des Wavelets gegeben ist. Dabei können wir nur die Informationen sehen, die durch die Form des verwendeten Wavelets bestimmt sind.

Der englische Begriff "wavelet" wurde in den frühen 1980er Jahren von den französischen Physikern Jean Morlet und Alex Grossman eingeführt. Sie benutzten das französische Wort "ondelette" (was "kleine Welle" bedeutet). Später wurde dieses Wort ins Englische gebracht, indem "onde" in "wave" übersetzt wurde, was "Wavelet" ergibt.

Wavelet ist eine (komplexe) Funktion aus dem Hilbert-Raum ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}{\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} . Für praktische Anwendungen sollte sie folgende Bedingungen erfüllen.

Sie muss eine endliche Energie haben.

∫ - ∞ ∞ | ψ | ∞ ( t ) | 2 d t < ∞ {\ansichtsstil \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }

Sie muss eine Zulässigkeitsbedingung erfüllen.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\Displaystyle \int _{0}^{\infty }{{{{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}} über {\omega \omega }d\omega <\infty } {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty }, wobei ψ ^ ^ {\displaystyle {\psi }}{\displaystyle {\hat {\psi }}} eine Fourier-Transformation von ψ {\displaystyle \psi \,} {\displaystyle \psi \,}

Null Mittelwertbedingung impliziert aus Zulässigkeitsbedingung.

∫ - ∞ ∞ ψ ψ ( t ) d t = 0 {\ansichtsstil \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}

Die Funktion ψ {\displaystyle \psi \,}{\displaystyle \psi \,} wird als Mutter-Wavelet bezeichnet. Seine übersetzten (verschobenen) und dilatierten (skalierten) normalisierten Versionen sind wie folgt definiert.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({t-b} \over {a}}\right)} {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}

Das ursprüngliche Mutter-Wavelet hat die Parameter a = 1 {\Darstellungsstil a=1} {\displaystyle a=1}und b = 0 {\Darstellungsstil b=0} {\displaystyle b=0}. Die Übersetzung wird durch den {\displaystyle b}Parameter b {\displaystyle b} und die Dehnung durch den Parameter {\displaystyle a}a beschrieben.