Wavelet
Ein Wavelet ist eine mathematische Funktion, die verwendet wird, um eine Funktion oder ein Signal in Bezug auf andere Funktionen aufzuschreiben, die einfacher zu untersuchen sind. Viele Signalverarbeitungsaufgaben können in Form einer Wavelet-Transformation betrachtet werden. Informell gesprochen kann das Signal unter der Linse mit einer Vergrößerung gesehen werden, die durch den Maßstab des Wavelets gegeben ist. Dabei können wir nur die Informationen sehen, die durch die Form des verwendeten Wavelets bestimmt sind.
Der englische Begriff "wavelet" wurde in den frühen 1980er Jahren von den französischen Physikern Jean Morlet und Alex Grossman eingeführt. Sie benutzten das französische Wort "ondelette" (was "kleine Welle" bedeutet). Später wurde dieses Wort ins Englische gebracht, indem "onde" in "wave" übersetzt wurde, was "Wavelet" ergibt.
Wavelet ist eine (komplexe) Funktion aus dem Hilbert-Raum ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}
. Für praktische Anwendungen sollte sie folgende Bedingungen erfüllen.
Sie muss eine endliche Energie haben.
∫ - ∞ ∞ | ψ | ∞ ( t ) | 2 d t < ∞ {\ansichtsstil \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } 
Sie muss eine Zulässigkeitsbedingung erfüllen.
∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\Displaystyle \int _{0}^{\infty }{{{{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}} über {\omega \omega }d\omega <\infty } 
, wobei ψ ^ ^ {\displaystyle {\psi }}
eine Fourier-Transformation von ψ {\displaystyle \psi \,} 
Null Mittelwertbedingung impliziert aus Zulässigkeitsbedingung.
∫ - ∞ ∞ ψ ψ ( t ) d t = 0 {\ansichtsstil \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} 
Die Funktion ψ {\displaystyle \psi \,} wird als Mutter-Wavelet bezeichnet. Seine übersetzten (verschobenen) und dilatierten (skalierten) normalisierten Versionen sind wie folgt definiert.
ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({t-b} \over {a}}\right)} 
Das ursprüngliche Mutter-Wavelet hat die Parameter a = 1 {\Darstellungsstil a=1} 
und b = 0 {\Darstellungsstil b=0} 
. Die Übersetzung wird durch den 
Parameter b {\displaystyle b} und die Dehnung durch den Parameter {\displaystyle a}
beschrieben.
Morlet-Wavelet
Fragen und Antworten
F: Was ist ein Wavelet?
A: Ein Wavelet ist eine mathematische Funktion, die verwendet wird, um eine Funktion oder ein Signal in Form anderer Funktionen zu beschreiben, die einfacher zu untersuchen sind. Es kann unter der Linse mit einer Vergrößerung betrachtet werden, die durch den Maßstab des Wavelets gegeben ist, so dass wir nur die Informationen sehen können, die durch seine Form bestimmt werden.
F: Wer hat den Begriff "Wavelet" eingeführt?
A: Der englische Begriff "wavelet" wurde in den frühen 1980er Jahren von den französischen Physikern Jean Morlet und Alex Grossman eingeführt, die das französische Wort "ondelette" (was "kleine Welle" bedeutet) verwendeten. Später wurde dieses Wort ins Englische übertragen, indem man "onde" mit "Welle" übersetzte, was uns "wavelet" bescherte.
F: Welche Anforderungen muss ein Wavelet für praktische Anwendungen erfüllen?
A: Für praktische Anwendungen muss ein Wavelet eine endliche Energie haben und eine Zulässigkeitsbedingung erfüllen. Diese Zulässigkeitsbedingung besagt, dass es einen Mittelwert von Null haben muss und außerdem ein Integral über die Frequenz erfüllen muss, das kleiner als unendlich ist.
F: Was versteht man unter Translation und Dilatation, wenn man sich auf Wavelets bezieht?
A: Unter Translation versteht man die Verschiebung oder Bewegung des Mutter-Wavelets entlang der Zeitachse, während Dilatation die Skalierung oder Dehnung/Schrumpfung des Mutter-Wavelets entlang der Zeitachse bedeutet. Diese beiden Parameter (Translation & Dilatation) werden durch b bzw. a beschrieben.
F: Was bedeutet es, dass ein Wavelet den Mittelwert Null hat?
A: Mittelwert Null bedeutet, dass bei der Integration über alle Werte von t von negativ unendlich bis positiv unendlich die Summe gleich 0 sein muss, d.h. ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Diese Anforderung ergibt sich aus der Zulässigkeitsbedingung selbst, wie oben erwähnt.
F: Wie sind Mutter-Wavelets definiert?
A: Mutter-Wavelets sind definiert als normalisierte Versionen der translatierten (verschobenen) und dilatierten (skalierten) Version der ursprünglichen Mutter-Wavelets mit den Parametern 'a' = 1 & 'b' = 0.
