Hilbertraum

Autor: Leandro Alegsa

03-11-2020

Ein Hilbert-Raum ist ein mathematisches Konzept, das die extra-dimensionale Nutzung des euklidischen Raumes, d.h. eines Raumes mit mehr als drei Dimensionen, abdeckt. Ein Hilbert-Raum verwendet die Mathematik von zwei und drei Dimensionen, um zu versuchen zu beschreiben, was in mehr als drei Dimensionen geschieht. Er ist nach David Hilbert benannt.

Vektoralgebra und Vektorrechnung sind Methoden, die normalerweise in der zweidimensionalen euklidischen Ebene und im dreidimensionalen Raum verwendet werden. In Hilbert-Räumen können diese Methoden mit einer beliebigen endlichen oder unendlichen Anzahl von Dimensionen verwendet werden. Ein Hilbert-Raum ist ein Vektorraum, der die Struktur eines inneren Produkts hat, mit dem Länge und Winkel gemessen werden können. Hilbert-Räume müssen ebenfalls vollständig sein, d.h. es müssen genügend Grenzen vorhanden sein, damit die Analysis funktionieren kann.

Die frühesten Hilbert-Räume wurden im ersten Jahrzehnt des 20. Jahrhunderts von David Hilbert, Erhard Schmidt und Frigyes Riesz untersucht. John von Neumann erfand als erster den Namen "Hilbert-Raum". Die Methoden des Hilbert-Raums machten einen großen Unterschied in der Funktionsanalyse.

Hilbert-Räume tauchen in der Mathematik, Physik und Technik häufig als unendlichdimensionale Funktionsräume auf. Sie sind besonders nützlich für das Studium partieller Differentialgleichungen, der Quantenmechanik, der Fourier-Analyse (die Signalverarbeitung und Wärmeübertragung einschließt). Hilbert-Räume werden in der Ergodentheorie verwendet, die die mathematische Grundlage der Thermodynamik ist. Alle normalen euklidischen Räume sind auch Hilbert-Räume. Weitere Beispiele für Hilbert-Räume sind Räume mit quadratisch-integrierbaren Funktionen, Räume von Sequenzen, Sobolev-Räume, die aus verallgemeinerten Funktionen bestehen, und Hardy-Räume mit holomorphen Funktionen.

Hilbert-Räume können zur Untersuchung der Obertöne von schwingenden Saiten verwendet werden.

Fragen und Antworten

F: Was ist ein Hilbert-Raum?

A: Ein Hilbert-Raum ist ein mathematisches Konzept, das die Mathematik von zwei und drei Dimensionen verwendet, um zu beschreiben, was in mehr als drei Dimensionen geschieht. Es handelt sich um einen Vektorraum mit einer inneren Produktstruktur, die es ermöglicht, Länge und Winkel zu messen, und er muss auch vollständig sein, damit die Infinitesimalrechnung funktioniert.

F: Von wem stammt das Konzept der Hilbert-Räume?

A: Das Konzept der Hilbert-Räume wurde erstmals im frühen 20. Jahrhundert von David Hilbert, Erhard Schmidt und Frigyes Riesz untersucht. John von Neumann war derjenige, der den Namen "Hilbert-Raum" erfand.

F: Was sind einige Anwendungen von Hilbert-Räumen?

A: Hilbert-Räume werden in vielen Bereichen verwendet, z.B. in der Mathematik, der Physik, dem Ingenieurwesen, der funktionalen Analyse, den partiellen Differentialgleichungen, der Quantenmechanik, der Fourier-Analyse (einschließlich Signalverarbeitung und Wärmeübertragung), der Ergodentheorie (der mathematischen Grundlage der Thermodynamik), den quadratisch-integrablen Funktionen, den Sequenzen, den Sobolev-Räumen, die aus verallgemeinerten Funktionen bestehen, den Hardy-Räumen der holomorphen Funktionen.

F: Gelten alle normalen euklidischen Räume auch als Hilbert-Räume?

A: Ja - alle normalen euklidischen Räume werden auch als Hilbert-Räume betrachtet.

F: Wie haben Hilbert-Räume die Funktionalanalysis verändert?

A: Die Verwendung von Hilbert-Räumen hat die Funktionalanalysis stark verändert, da sie neue Methoden zur Untersuchung von Problemen in diesem Bereich bietet.

F: Welche Art von Mathematik muss man beherrschen, wenn man mit einem Hilbert-Raum arbeitet?

A: Vektoralgebra und Infinitesimalrechnung werden normalerweise verwendet, wenn man mit einer zweidimensionalen euklidischen Ebene oder einem dreidimensionalen Raum arbeitet; diese Methoden können jedoch auch mit einer beliebigen endlichen oder unendlichen Anzahl von Dimensionen verwendet werden, wenn man mit einem Hilbertraum arbeitet.