Euklidische Geometrie

Autor: Leandro Alegsa Erstellungsdatum: 1. November 2021

Die euklidische Geometrie ist ein System in der Mathematik. Man glaubt, dass Euklid der erste Mensch war, der es beschrieben hat; deshalb trägt es seinen Namen. Er beschrieb es zuerst in seinem Lehrbuch Elemente. Das Buch war die erste systematische Diskussion der Geometrie, wie sie damals bekannt war. In dem Buch geht Euklid zunächst von einigen wenigen Axiomen aus. Diese bilden die Grundlage für die spätere Arbeit. Sie sind intuitiv klar. Ausgehend von diesen Axiomen können andere Theoreme bewiesen werden.

Im 19. Jahrhundert wurden andere Formen der Geometrie gefunden. Diese sind nicht-euklidische Geometrie. Carl Friedrich Gauß, János Bolyai und Nikolai Ivanovich Lobachevsky waren einige Personen, die solche Geometrien entwickelten. Sehr oft verwenden diese nicht das parallele Postulat, sondern die anderen vier Axiome.

Die Axiome

Euklid geht von folgenden Annahmen aus. Dies sind Axiome, die nicht bewiesen werden müssen.

Zwei beliebige Punkte können durch eine gerade Linie verbunden werden
Jedes gerade Liniensegment kann bis ins Unendliche verlängert (verlängert) werden, so dass es eine Gerade wird.
Mit einem geraden Liniensegment ist es möglich, einen Kreis zu zeichnen, so dass ein Endpunkt des Segments der Mittelpunkt des Kreises ist und der andere Endpunkt auf dem Kreis liegt. Das Liniensegment wird zum Radius des Kreises.
Alle rechten Winkel sind kongruent
Paralleles Postulat. Wenn zwei Linien eine dritte so schneiden, dass die Summe der Innenwinkel auf einer Seite kleiner als zwei rechte Winkel ist, dann müssen sich die beiden Linien zwangsläufig auf dieser Seite schneiden, wenn sie weit genug auseinander liegen.

Stand

Die euklidische Geometrie ist eine Theorie erster Ordnung. Mit ihr können Aussagen wie Für alle Dreiecke... gemacht und bewiesen werden. Aussagen wie Für alle Mengen von Dreiecken... liegen außerhalb des Rahmens der Theorie.

Fragen und Antworten

F: Was ist euklidische Geometrie?

A: Die euklidische Geometrie ist ein System in der Mathematik, das erstmals von Euklid in seinem Lehrbuch Elemente beschrieben wurde. Es besteht aus einigen Axiomen, die die Grundlage für spätere Arbeiten bilden, und aus diesen Axiomen können weitere Theoreme bewiesen werden.

F: Wer hat die Elemente geschrieben?

A: Euklid verfasste die Elemente, die erste systematische Erörterung der Geometrie, wie sie zu dieser Zeit bekannt war.

F: Was sind einige Beispiele für nicht-euklidische Geometrien?

A: Nicht-euklidische Geometrien wurden im 19. Jahrhundert von Carl Friedrich Gauß, Jבnos Bolyai und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski entwickelt. Jahrhundert entwickelt. Diese verwenden oft nicht das Parallelpostulat, sondern stützen sich auf die anderen vier Axiome.

F: Was wird in den Elementen behandelt?

A: Die Elemente behandeln die Geometrie, wie sie zu dieser Zeit bekannt war, und bieten eine systematische Diskussion darüber.

F: Wie viele Axiome hat die euklidische Geometrie?

A: Die euklidische Geometrie hat ein paar Axiome, die die Grundlage für spätere Arbeiten bilden.

F: Wer hat nicht-euklidische Geometrien entwickelt?

A: Nicht-euklidische Geometrien wurden im 19. Jahrhundert von Carl Friedrich Gauß, Jבnos Bolyai und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski entwickelt.

F: Verwendet die nicht-euklidische Geometrie alle fünf Axiome oder nur vier?

A: Die nicht-euklidische Geometrie verwendet oft nicht das Parallelitätspostulat, sondern stützt sich auf nur vier ihrer fünf Axiome.