Kongruenz
In der Geometrie sind zwei Figuren oder Objekte kongruent, wenn sie die gleiche Form und Größe haben. Auch wenn die eine die gleiche Form und Größe hat wie das Spiegelbild der anderen.
Formell werden zwei Punktmengen als kongruent bezeichnet, wenn, und nur wenn, eine durch Isometrie in die andere transformiert werden kann. Für die Isometrie werden starre Bewegungen verwendet.
Das bedeutet, dass ein Objekt neu positioniert und reflektiert (aber nicht in der Größe verändert) werden kann, so dass es genau mit dem anderen Objekt übereinstimmt. Zwei verschiedene ebene Figuren auf einem Blatt Papier sind also kongruent, wenn wir sie ausschneiden und dann vollständig zusammenfügen können. Es ist erlaubt, das Papier umzudrehen.
Kongruente Polygone sind Polygone, die durch Halbierung eines regelmäßigen Polygons zu einem kongruenten Polygon werden.
Zwei geometrische Formen sind kongruent, wenn die eine bewegt oder gedreht werden kann, so dass sie genau dorthin passt, wo die andere ist. Wenn eines der Objekte seine Größe ändern muss, sind die beiden Objekte nicht kongruent, sondern werden nur ähnlich genannt.
Wenn zwei Figuren oder Objekte kongruent sind, haben sie die gleiche Form und Größe; sie können jedoch gedreht, verschoben, spiegelbildlich (reflektiert) oder verschoben werden, so dass sie genau dorthin passen, wo das andere ist.
Ein Beispiel für Kongruenz. Die beiden Dreiecke auf der linken Seite sind kongruent, während das dritte ihnen ähnlich ist. Das letzte Dreieck ist weder ähnlich noch kongruent zu einem der anderen. Beachten Sie, dass die Kongruenz die Änderung einiger Eigenschaften, wie Lage und Orientierung, erlaubt, während andere, wie Abstand und Winkel, unverändert bleiben. Die unveränderten Eigenschaften werden als Invarianten bezeichnet.
Beispiele
- alle Quadrate, die die gleiche Seitenlänge haben, sind kongruent.
- Alle gleichseitigen Dreiecke, die die gleiche Seitenlänge haben, sind kongruent.
Tests auf Kongruenz
- Zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen sind bei zwei Dreiecken gleich (ASA-Kongruenz)
- Zwei Winkel und eine nicht dazwischen liegende Seite sind auf beiden Dreiecken gleich (AAS-Kongruenz)
- Alle drei Seiten beider Dreiecke sind gleich (SSS-Kongruenz)
- zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen macht 2 Dreiecke kongruent (SAS-Kongruenz)
Wie können wir neue kongruente Formen erhalten?
Wir haben eine ganze Reihe von Möglichkeiten, ein paar Regeln, um neue Formen mit der ursprünglichen kongruent zu machen.
- Wenn wir eine geomentrische Form in der Ebene verschieben, erhalten wir eine Form, die mit der ursprünglichen Form kongruent ist.
- Wenn wir rotieren, anstatt uns zu verschieben, dann erhalten wir auch eine Form, die mit der ursprünglichen kongruent ist.
- Selbst wenn wir ein Spiegelbild der ursprünglichen Form nehmen, erhalten wir immer noch eine kongruente Form.
- Wenn wir die drei Aktivitäten nacheinander kombinieren, dann erhalten wir immer noch kongruente Formen.
- Es gibt keine kongruenten Formen mehr. Genauer gesagt bedeutet dies, dass wenn eine Form kongruent zur ursprünglichen ist, dann kann sie durch die drei oben beschriebenen Aktivitäten erreicht werden.
Die Beziehung, dass eine Form kongruent zu einer anderen Form ist, hat drei berühmte Eigenschaften.
- Wenn wir die ursprüngliche Form an ihrem ursprünglichen Platz belassen, dann ist sie kongruent zu sich selbst. Dieses Verhalten, diese Eigenschaft nennt man Reflexivität.
Zum Beispiel, wenn es sich bei der obigen Verschiebung nicht um eine richtige Verschiebung handelt, sondern nur um eine Verschiebung, die eine Bewegung der Länge Null macht. Oder, ähnlich, wenn die obige Drehung keine richtige Drehung ist, sondern nur eine Drehung um den Winkel Null.
- Wenn eine Form kongruent zu einer anderen Form ist, dann ist auch diese andere Form kongruent zu der ursprünglichen Form. Dieses Verhalten, diese Eigenschaft nennt man Symmetrie.
Wenn wir uns zum Beispiel zurückversetzen, zurückdrehen oder die neue Form auf die ursprüngliche zurückspiegeln, dann ist die ursprüngliche Form mit der neuen kongruent.
- Wenn eine Form C kongruent zu einer Form B ist und die Form B kongruent zu der ursprünglichen Form A ist, dann ist die Form C auch kongruent zu der ursprünglichen Form A. Dieses Verhalten, diese Eigenschaft wird als Transitivität bezeichnet.
Wenn wir zum Beispiel zuerst eine Verschiebung und dann eine Drehung anwenden, dann ist die resultierende neue Form immer noch kongruent zur ursprünglichen Form.
Die berühmten drei Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität bilden zusammen den Begriff der Äquivalenz. Daher ist die Eigenschaftskongruenz eine Art von Äquivalenzbeziehung zwischen den Formen einer Ebene.
Fragen und Antworten
F: Was bedeutet es in der Geometrie, wenn zwei Figuren kongruent sind?
A: Zwei Figuren sind in der Geometrie kongruent, wenn sie die gleiche Form und Größe haben oder wenn die eine die gleiche Form und Größe wie das Spiegelbild der anderen hat.
Q: Wie werden zwei Punktmengen als kongruent bezeichnet?
A: Zwei Punktmengen werden nur dann als kongruent bezeichnet, wenn die eine Menge durch Isometrie in die andere transformiert werden kann.
F: Wofür werden starre Bewegungen in der Isometrie verwendet?
A: Starre Bewegungen werden in der Isometrie verwendet, um geometrische Figuren neu zu positionieren, zu drehen oder zu spiegeln, ohne ihre Größe zu verändern, so dass sie genau mit anderen Objekten übereinstimmen.
F: Können zwei Figuren kongruent sein, wenn eine von ihnen ihre Größe ändern muss, um mit der anderen übereinzustimmen?
A: Nein, wenn eines der Objekte seine Größe ändern muss, um mit dem anderen übereinzustimmen, dann sind die beiden Objekte nicht kongruent, aber sie werden als ähnlich bezeichnet.
F: Was kann man über die Kongruenz von zwei verschiedenen ebenen Figuren auf einem Stück Papier sagen?
A: Zwei unterschiedliche ebene Figuren auf einem Stück Papier sind kongruent, wenn wir sie ausschneiden und dann vollständig zusammensetzen können, indem wir das Papier bei Bedarf umdrehen.
F: Was sind kongruente Polygone?
A: Kongruente Polygone sind Polygone, die in der Hälfte gefaltet werden können, um ein anderes regelmäßiges Polygon zu bilden, das ebenfalls kongruent ist.
F: Was ist das Kriterium, damit zwei Objekte in der Geometrie als kongruent bezeichnet werden können?
A: Das Kriterium, damit zwei Objekte in der Geometrie als kongruent bezeichnet werden können, ist, dass ein Objekt so verschoben, gedreht oder gespiegelt werden kann, dass es genau mit dem anderen Objekt übereinstimmt, ohne dessen Größe zu verändern.
