Satz (Mathematik)
Ein Theorem ist eine bewährte Idee in der Mathematik. Theoreme werden mit Hilfe der Logik und anderen Theoremen, die bereits bewiesen wurden, bewiesen. Ein Theorem, das jemand beweisen muss, damit er ein anderes Theorem beweisen kann, wird als Lemma bezeichnet. Theoreme bestehen aus zwei Teilen, es gibt Hypothesen und Schlussfolgerungen.
Theoreme verwenden Deduktion, im Gegensatz zu Theorien, die empirisch sind.
Einige Theoreme sind trivial, sie ergeben sich direkt aus den Sätzen. Andere Theoreme werden "tief" genannt, ihr Beweis ist lang und schwierig. Manchmal betreffen solche Beweise andere Bereiche der Mathematik oder zeigen Verbindungen zwischen verschiedenen Bereichen auf. Ein Theorem kann einfach zu formulieren und dennoch tief sein. Ein ausgezeichnetes Beispiel ist Fermats Letzter Satz, und es gibt viele andere Beispiele für einfache und doch tiefe Theoreme, unter anderem in der Zahlentheorie und Kombinatorik.
Es gibt andere Theoreme, für die ein Beweis bekannt ist, der aber nicht leicht niedergeschrieben werden kann. Zu den besten Beispielen gehören das Vierfarbsatz-Theorem und die Kepler-Vermutung. Von beiden Theoremen weiß man nur, dass sie wahr sind, indem man sie auf eine rechnerische Suche reduziert, die dann durch ein Computerprogramm verifiziert wird. Anfangs akzeptierten viele Mathematiker diese Form des Beweises nicht, aber in den letzten Jahren hat sie sich immer mehr durchgesetzt. Der Mathematiker Doron Zeilberger ist sogar so weit gegangen zu behaupten, dass dies möglicherweise die einzigen nicht-trivialen Ergebnisse sind, die Mathematiker jemals bewiesen haben. Viele mathematische Theoreme lassen sich auf einfachere Berechnungen reduzieren, darunter polynomische Identitäten, trigonometrische Identitäten und hypergeometrische Identitäten.
Der Satz des Pythagoras hat mindestens 370 bekannte Beweise.
Bücher
- Heath, Sir Thomas Little (1897), Die Werke des Archimedes, Dover, geborgen 2009-11-15
- Hoffman, P. (1998). Der Mann, der nur Zahlen liebte: Die Geschichte des Paulus Erdős und die Suche nach der mathematischen Wahrheit. Hyperion, New York.
- Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. Externer Link in |title= (help)CS1 maint: mehrere Namen: Autorenliste (link)
Fragen und Antworten
F: Was ist ein Theorem?
A: Ein Theorem ist eine Idee, die in der Mathematik mit Hilfe der Logik und anderer bereits bewiesener Theoreme als wahr bewiesen wurde.
F: Was ist ein Lemma?
A: Ein Lemma ist ein kleineres Theorem, das man beweisen muss, um ein größeres Theorem zu beweisen.
F: Wie setzen sich Theoreme zusammen?
A: Theoreme bestehen aus zwei Teilen - Hypothesen und Schlussfolgerungen - und basieren auf Deduktion und nicht auf empirischen Theorien.
F: Sind alle Theoreme schwer zu beweisen?
A: Nein, einige Theoreme sind trivial, da sie direkt aus Sätzen folgen, während andere lange und schwierige Beweise erfordern, die andere Bereiche der Mathematik einbeziehen oder Verbindungen zwischen verschiedenen Bereichen aufzeigen.
F: Kann ein Theorem einfach und doch tiefgründig sein?
A: Ja, ein Beispiel dafür wäre Fermats letzter Satz, der einfach zu formulieren ist, dessen Beweis aber lang und schwierig ist.
F: Gibt es Theoreme, für die ein Beweis bekannt ist, die aber nicht einfach aufgeschrieben werden können?
A: Ja, zum Beispiel das Vier-Farben-Theorem und die Keplersche Vermutung, die nur durch den Einsatz von Computerprogrammen überprüft werden können.
F: Können mathematische Theoreme manchmal auf einfachere Berechnungen reduziert werden?
A: Ja, mathematische Theoreme lassen sich manchmal auf einfachere Berechnungen wie polynomische Identitäten, trigonometrische Identitäten oder hypergeometrische Identitäten reduzieren.
