Fermats letzter Satz
Fermats letzter Satz – Aussage, historische Entwicklung und der Beweis durch Andrew Wiles: von Fermats Randnotiz und Teilresultaten bis zu Ribets Verbindung, elliptischen Kurven und dem Modularitysatz
Fermats letzter Satz ist eine der bekanntesten Aussagen in der Mathematik. Kurz gefasst lautet sie:
Für ganze Zahlen n > 2 gibt es keine positiven ganzen Zahlen x, y, z, die die Gleichung
xn + yn = zn
Präzise Aussage
- Behauptung: Für jede ganze Zahl n mit n > 2 existieren keine drei positiven ganzen Zahlen x, y, z mit xn + yn = zn.
- Die Bedingung kann auf primitive Lösungen reduziert werden (x, y, z haben keinen gemeinsamen Teiler), und es genügt, den Satz für primzahlige Exponenten zu zeigen.
- Wegen der Formulierung bezieht sich der Satz auf positive ganze Zahlen (oft als natürliche Zahlen bezeichnet); in vielen Darstellungen wird darauf hingewiesen, dass null oder negative Werte trivial andere Fälle darstellen.
Historischer Überblick
Der französische Jurist und Mathematiker Pierre de Fermat schrieb 1637 in den Rand einer Kopie von Arithmetica die Bemerkung, er habe einen Beweis dafür, aber der Rand sei zu klein, um ihn aufzuschreiben. Fermat bewies außerdem den speziellen Fall n = 4 mit der Methode des unendlichen Abstiegs, sodass der allgemeine Fall auf Primzahlen reduziert werden konnte.
In den folgenden Jahrhunderten lieferten viele Mathematiker Beweise für einzelne Exponenten oder für Klassen von Exponenten, doch ein allgemeiner Beweis blieb aus. Beispiele für frühe Teilresultate:
- n = 4: Fermat (unendlicher Abstieg)
- n = 3: Beweise aus dem 18. Jahrhundert (u. a. Euler)
- n = 5: Beweise im 19. Jahrhundert (u. a. Dirichlet und Legendre)
- Sophie Germain entwickelte Techniken, mit denen sich viele Primzahlen vom Typ p erreichen lassen, für die der Satz gilt (sogenannte Sophie-Germain-Primzahlen).
Weg zur Lösung: Modulare Formen und elliptische Kurven
Im 20. Jahrhundert wurden Verbindungen zwischen elliptischen Kurven und modularen Formen deutlich. Die so genannte Taniyama–Shimura–Weil-Vermutung (heute Modularitysatz) besagt, dass elliptische Kurven über den rationalen Zahlen modular sind. Kenneth Ribet zeigte 1986, dass die Verknüpfung dieser Vermutung mit bestimmten Eigenschaften von elliptischen Kurven die Unmöglichkeit von Lösungen der Fermat-Gleichung für n > 2 nach sich zieht.
Der endgültige Beweis
Der britische Mathematiker Andrew Wiles bewies in den frühen 1990er Jahren einen wichtigen Spezialfall der Taniyama–Shimura-Vermutung (für semistabile elliptische Kurven). Nach einer ersten Veröffentlichung 1993 wurde ein Lückenproblem entdeckt; Wiles und sein Mitarbeiter Richard Taylor korrigierten den Fehler und publizierten die vollständige Lösung 1994/1995. Damit war Fermats letzter Satz endgültig bewiesen.
Bedeutung und Nachwirkung
- Der Beweis von Wiles verband mehrere Bereiche der Zahlentheorie — insbesondere die Theorie der elliptischen Kurven, modulare Formen und Galois-Darstellungen — und löste damit langjährige Forschungsfragen.
- Der Prozess zur Lösung des Problems führte zu neuen Methoden und Ergebnissen in der algebraischen Zahlentheorie und der arithmetischen Geometrie.
- Die Geschichte des Problems ist zugleich ein Lehrstück über mathematische Zusammenarbeit, über Jahrzehnte gesammeltes Wissen und die Entwicklung moderner Techniken.
Weiteres
Die Frage nach Lösungen der Gleichung xn + yn = zn für n = 1 oder n = 2 ist klassisch lösbar (Pythagoreische Tripel für n = 2). Für n > 2 zeigt der Satz von Fermat, dass es keine nichttrivialen Lösungen in den natürlichen Zahlen gibt. Die historische Diskussion um Fermats behaupteten Beweis bleibt Gegenstand wissenschaftlicher Spekulation; die Mehrheit der Historiker und Mathematiker betrachtet es als sehr unwahrscheinlich, dass Fermat einen vollständigen allgemeingültigen Beweis besaß.
Für weiterführende Informationen zur Gleichung selbst und zu verwandten Begriffen siehe die Einträge zu Gleichung, zu Widerspruchsbeweisen und zur Geschichte von Lösungen in der Zahlentheorie.
Beziehungen zu anderer Mathematik
Fermats letzter Satz ist eine allgemeinere Form der Gleichung: a 2 + b 2 = c 2 {\darstellungsstil a^{2}+b^{2}=c^{2}} 
. (Dies stammt aus dem Satz des Pythagoras). Ein Sonderfall liegt vor, wenn a, b und c ganze Zahlen sind. Dann werden sie als "pythagoräisches Tripel" bezeichnet. Ein Beispiel: 3, 4 und 5 ergeben 3^2 + 4^2 = 5^2 als 9+16=25, oder 5, 12 und 13 ergeben 25+144=169. Es gibt unendlich viele von ihnen (sie dauern ewig an). Fermats letzter Satz spricht darüber, was passiert, wenn die 2 zu einer größeren ganzen Zahl wird. Es besagt, dass es dann keine Tripel gibt, wenn a, b und c ganze Zahlen größer oder gleich eins sind (was bedeutet, dass, wenn n mehr als zwei ist, a, b und c keine natürlichen Zahlen sein können).
Nachweis
Der Nachweis wurde für einige Werte von n geführt (wie n=3, n=4, n=5 und n=7). Fermat, Euler, Sophie Germain und andere Personen haben dies getan.
Der vollständige Beweis muss jedoch zeigen, dass die Gleichung keine Lösung für alle Werte von n hat (wenn n eine ganze Zahl größer als 2 ist). Der Beweis war sehr schwer zu finden, und Fermats letzter Satz brauchte viel Zeit, um gelöst zu werden.
Ein englischer Mathematiker namens Andrew Wiles fand 1995 eine Lösung, 358 Jahre nachdem Fermat darüber geschrieben hatte. Richard Taylor half ihm, die Lösung zu finden[]. Der Beweis dauerte acht Jahre Forschung. Er bewies das Theorem, indem er zunächst das Modularitätstheorem bewies, das damals als Taniyama-Shimura-Vermutung bezeichnet wurde. Mit Hilfe des Satzes von Ribet konnte er einen Beweis für Fermats letzten Satz liefern. Im Juni 1997 erhielt er den Wolfskehl-Preis der Göttinger Akademie, der mit rund 50.000 US-Dollar dotiert war.
Nach einigen Jahren der Debatte war man sich einig, dass Andrew Wiles das Problem gelöst hatte. Andrew Wiles verwendete viel moderne Mathematik und schuf sogar neue Mathematik, als er seine Lösung erstellte. Diese Mathematik war unbekannt, als Fermat seine berühmte Notiz schrieb, also konnte Fermat sie nicht verwendet haben. Dies lässt vermuten, dass Fermat in Wirklichkeit keine vollständige Lösung des Problems hatte.
Fragen und Antworten
F: Was ist Fermats letzter Satz?
A: Fermats letzter Satz (FLT) besagt, dass, wenn n eine ganze Zahl größer als 2 ist, die Gleichung x^n + y^n = z^n keine Lösungen hat, wenn x, y und z natürliche Zahlen sind. Mit anderen Worten, es ist unmöglich, zwei Würfel, die addiert einen dritten Würfel ergeben, oder irgendetwas Höheres als Quadrate in ganzen Zahlen auszudrücken.
F: Wann wurde die FLT geschrieben?
A: Pierre de Fermat schrieb 1637 über die FLT in seiner Kopie eines Buches namens Arithmetica.
F: Was hat Fermat über das Theorem gesagt?
A: Er sagte: "Ich habe einen Beweis für dieses Theorem, aber der Platz auf diesem Blatt reicht nicht aus".
F: Wie lange hat es gedauert, bis die FLT bewiesen war?
A: Es dauerte 357 Jahre, bis die FLT korrekt bewiesen wurde; 1995 war es endlich soweit.
F: Glauben die Mathematiker, dass Fermat einen tatsächlichen Beweis für das Theorem hatte?
A: Die meisten Mathematiker glauben nicht, dass Fermat tatsächlich einen Randbeweis für dieses Theorem hatte.
F: Was besagt das ursprüngliche Problem?
A: Das ursprüngliche Problem besagt, dass es unmöglich ist, cubum autem (einen Würfel) in zwei Würfel oder quadratoquadratum (ein Quadrat-Quadrat) in zwei Quadrat-Quadrate zu teilen, und dass im Allgemeinen nichts, was über Quadrate hinausgeht, in zwei gleichnamige Quadrate geteilt werden kann, wobei der Beweis bemerkenswert, aber zu groß für die Randgröße ist.
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Autor
AlegsaOnline.com Fermats letzter Satz Leandro Alegsa
URL: https://de.alegsaonline.com/art/34029
Quellen
- math.stanford.edu : "From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem becomes a theorem"
- doi.org : 10.1007/PL00000079