Algebraische Lösung

Autor: Leandro Alegsa

03-11-2020

Eine algebraische Lösung ist ein algebraischer Ausdruck, der die Lösung einer algebraischen Gleichung in Bezug auf die Koeffizienten der Variablen ist. Er wird nur durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und die Extraktion von Wurzeln (Quadratwurzeln, Würfelwurzeln usw.) gefunden.

Das bekannteste Beispiel ist die Lösung der allgemeinen quadratischen Gleichung.

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a , {\darstellungsstil x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}},} $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},$

a x 2 + b x + c = 0 {\Anzeigeart ax^{2}+bx+c=0\,} $ax^{2}+bx+c=0\,$

(wobei ein ≠ 0).

Es gibt eine kompliziertere Lösung für die allgemeine kubische Gleichung und die quartäre Gleichung. Das Abel-Ruffini-Theorem besagt, dass es für die allgemeine quintische Gleichung keine algebraische Lösung gibt. Das bedeutet, dass die allgemeine Polynomgleichung vom Grad n, für n ≥ 5, nicht mit Hilfe der Algebra gelöst werden kann. Unter bestimmten Bedingungen können wir jedoch algebraische Lösungen erhalten; zum Beispiel kann die Gleichung x 10 = a {\darstellungsstil x^{10}=a} $x^{10}=a$ als x = a 1 / 10 gelöst werden. {\Darstellungsstil x=a^{1/10}. } $x=a^{1/10}.$

Fragen und Antworten

F: Was ist eine algebraische Lösung?

A: Eine algebraische Lösung ist ein algebraischer Ausdruck, der die Lösung einer algebraischen Gleichung in Form der Koeffizienten der Variablen darstellt. Sie kann durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Extraktion von Wurzeln (Quadratwurzeln, Kubikwurzeln usw.) gefunden werden.

F: Was ist ein bekanntes Beispiel für eine algebraische Lösung?

A: Das bekannteste Beispiel ist die Lösung der allgemeinen quadratischen Gleichung.

F: Gibt es eine kompliziertere Lösung für Gleichungen höheren Grades?

A: Ja, es gibt eine kompliziertere Lösung für die allgemeine kubische Gleichung und die quadratische Gleichung.

F: Hat jede Polynomgleichung eine algebraische Lösung?

A: Nein, laut dem Abel-Ruffini-Theorem hat die allgemeine quintische Gleichung keine algebraische Lösung. Das bedeutet, dass die allgemeine Polynomgleichung vom Grad n, für n ≥ 5, nicht nur mit Algebra gelöst werden kann.

F: Gibt es Bedingungen, unter denen wir eine algebraische Lösung für Gleichungen höheren Grades erhalten können?

A: Ja, unter bestimmten Bedingungen können wir eine algebraische Lösung erhalten; zum Beispiel kann die Gleichung x^10 = a als x = a^(1/10) gelöst werden.

F: Wie löst man eine quadratische Gleichung?

A: Um eine quadratische Gleichung zu lösen, müssen Sie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division anwenden sowie Quadratwurzeln oder andere Arten von Wurzeln aus der Gleichung extrahieren.