In der Mathematik ist eine algebraische Gleichung, auch Polynomgleichung über ein gegebenes Feld genannt, eine Gleichung der Form
P = Q {\Anzeigestil P=Q} 
wobei P und Q Polynome über diesem Feld sind und eine (univariate) oder mehr als eine (multivariate) Variable haben. Zum Beispiel:
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\darstellungsstil y^{4}+{\frac {xy}{2}}}={\frac {x^{3}}}{3}}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}} 
ist eine algebraische Gleichung über die rationalen Zahlen.
Zwei Gleichungen werden als äquivalent bezeichnet, wenn sie den gleichen Satz von Lösungen haben. Das bedeutet, dass alle Lösungen der zweiten Gleichung auch Lösungen der ersten Gleichung sein müssen und umgekehrt. Die Gleichung P = Q {\Darstellungsstil P=Q} ist äquivalent mit P - Q = 0 {\Darstellungsstil P-Q=0}
. Das Studium algebraischer Gleichungen ist also äquivalent zum Studium von Polynomen.
Wenn eine algebraische Gleichung über den Rationalen liegt, kann sie immer in eine äquivalente Gleichung umgewandelt werden, bei der alle Koeffizienten ganze Zahlen sind. Zum Beispiel multiplizieren wir in der oben angegebenen Gleichung mit 42 = 2-3-7 und gruppieren die Terme im ersten Glied. Die Gleichung wird umgewandelt in
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\Anzeigestil 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Die Lösungen einer Gleichung sind die Werte der Variablen, für die die Gleichung wahr ist. Für algebraische Gleichungen gibt es aber auch sogenannte Wurzeln. Beim Lösen einer Gleichung müssen wir sagen, in welcher Menge die Lösungen zulässig sind. Zum Beispiel kann man für eine Gleichung über den Rationalzahlen Lösungen in den ganzen Zahlen finden. Dann ist die Gleichung eine diophantische Gleichung. Man kann auch nach Lösungen im Bereich der komplexen Zahlen suchen. Man kann auch nach Lösungen im Bereich der reellen Zahlen suchen.
Die alten Mathematiker wollten die Lösungen von univariaten Gleichungen (d.h. Gleichungen mit einer Variablen) in Form von radikalen Ausdrücken, wie x = 1 + 5 2 {\darstellungsstil x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}}
für die positive Lösung von x 2 + x - 1 = 0 {\darstellungsstil x^{2}+x-1=0}
. Die alten Ägypter wussten, wie man Gleichungen des Grades 2 (d.h. Gleichungen, in denen die höchste Potenz der Variablen 2 ist) auf diese Weise lösen konnte. In der Renaissance löste Gerolamo Cardano die Gleichung des Grades 3 und Lodovico Ferrari die Gleichung des Grades 4. 1824 schließlich bewies Niels Henrik Abel, dass die Gleichung des Grades 5 und die Gleichungen höheren Grades nicht immer mit Hilfe von Radikalen gelöst werden können. Die Galois-Theorie, benannt nach Évariste Galois, wurde eingeführt, um Kriterien zu liefern, die entscheiden, ob eine Gleichung mit Hilfe von Radikalen lösbar ist.