Wurzel (Mathematik)

Eine n-te Wurzel einer Zahl r ist eine Zahl, die, wenn sie n-mal mit sich selbst multipliziert wird, r ergibt. Sie wird auch als Radikal oder radikaler Ausdruck bezeichnet. Man könnte sagen, dass es eine Zahl k ist, für die diese Gleichung zutrifft:

k n = r {\Anzeigeart k^{n}=r} $k^{n}=r$

(für die Bedeutung von k n {\Darstellungsstil k^{n}} $k^{n}$ , lesen Sie die Potenzierung).

Wir schreiben es so: r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}} ${\sqrt[{n}]{r}}$ . Wenn n gleich 2 ist, dann ist der radikale Ausdruck eine Quadratwurzel. Wenn er 3 ist, dann ist er eine Kubikwurzel.

Zum Beispiel, 8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}}=2} ${\sqrt[{3}]{8}}=2$ weil 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{{3}=8} $2^{3}=8$ . Die 8 in diesem Beispiel wird als Radikand, die 3 als Index und der karierte Teil als radikales Symbol oder radikales Zeichen bezeichnet.

Wurzeln und Potenzen können wie in x gezeigt geändert werden a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\darstellungsstil {\sqrt[{b}]{x^{a}}}}=x^{\frac {a}{b}}}=({\sqrt[{b}]{x}}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}} ${\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}$ .

Die Produkteigenschaft eines radikalen Ausdrucks zeigt sich in a b = a × b {\darstellungsstil {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\ mal {\sqrt {b}}} ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$ .

Die Quotienteneigenschaft eines radikalen Ausdrucks zeigt sich in a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}}={\frac {\sqrt {a}}}{\sqrt {b}}}} ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ .

Dies ist y = x 3 {\darstellungsstil y={\sqrt[{3}]{x}}}} $y={\sqrt[{3}]{x}}$ . Es ist eine Würfelwurzel.

Dies ist der Graph für y = x {\darstellungsstil y={\sqrt {x}}} $y={\sqrt {x}}$ . Es ist eine Quadratwurzel.

Vereinfachung von

Dies ist ein Beispiel dafür, wie ein Radikaler vereinfacht werden kann.

8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 2 2 {\darstellungsstil {\sqrt {8}}={\sqrt {4\mal 2}}}={\sqrt {4}}\mal {\sqrt {2}}}=2{\sqrt {2}} ${\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}$

Wenn zwei Radikale gleich sind, können sie kombiniert werden. Dies ist der Fall, wenn sowohl die Indizes als auch die Radikanden gleich sind.

2 2 + 1 2 2 = 3 2 {\Anzeigestil 2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}} $2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}$

2 7 3 - 6 7 3 = - 4 7 3 {\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}} $2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}$

So findet man das perfekte Quadrat und rationalisiert den Nenner.

8 x x 3 = 8 x x x x x = 8 x = 8 x × x x x = 8 x x x 2 = 8 x x x {\displaystyle {\frac {\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}}={\frac {8{\stornieren {x}}}{{\stornieren {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}}\mal {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}}} ${\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\cancel {x}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}$

Fragen und Antworten

F: Was ist eine n-te Wurzel?

A: Eine n-te Wurzel aus einer Zahl r ist eine Zahl, die, wenn sie n-mal mit sich selbst multipliziert wird, die Zahl r ergibt.

Q: Wie wird eine n-te Wurzel geschrieben?

A: Eine n-te Wurzel aus einer Zahl r wird als r^(1/n) geschrieben.

F: Was sind einige Beispiele für Wurzeln?

A: Wenn der Index (n) 2 ist, dann ist der radikale Ausdruck eine Quadratwurzel. Wenn er 3 ist, handelt es sich um eine Kubikwurzel. Andere Werte von n werden mit Ordnungszahlen wie vierte Wurzel und zehnte Wurzel bezeichnet.

F: Was besagt die Produkteigenschaft eines radikalen Ausdrucks?

A: Die Produkteigenschaft eines radikalen Ausdrucks besagt, dass sqrt(ab) = sqrt(a) x sqrt(b).

F: Was besagt die Quotienteneigenschaft eines radikalen Ausdrucks?

A: Die Quotienteneigenschaft eines radikalen Ausdrucks besagt, dass sqrt(a/b) = (sqrt(a))/(sqrt(b)), wobei b != 0 ist.

Q: Welche anderen Begriffe können für eine n-te Wurzel verwendet werden?

A: Eine n-te Wurzel kann auch als Radikal oder Radikalausdruck bezeichnet werden.