Die Potenzierung (Potenz) ist eine arithmetische Operation auf Zahlen. Es ist wiederholte Multiplikation, so wie Multiplikation wiederholte Addition ist. Man schreibt Potenzierung mit oberem Index. Dies sieht folgendermaßen aus: x y {\darstellungsstil x^{y}}} {\displaystyle x^{y}}. In der Vergangenheit wurden auch andere Methoden der mathematischen Notation verwendet. Beim Schreiben mit Geräten, die den oberen Index nicht benutzen können, schreibt man mit den Zeichen ^ oder **, so dass 2^3 oder 2**3 2 3 {\Darstellungsstil 2^{3}} bedeutet. {\displaystyle 2^{3}}.

Die Zahl x {\Anzeigestil x}x wird Basis genannt, und die Zahl y {\Anzeigestil y}y wird Exponent genannt. Zum Beispiel in 2 3 3 {\darstellungsstil 2^{3}} {\darstellungsstil 2^{3}} {\displaystyle 2^{3}}2 ist die Basis und 3 ist der Exponent.

Um 2 3 {\Darstellungsstil 2^{3}}{\displaystyle 2^{3}} zu berechnen, muss eine Person die Zahl 2 mit sich selbst dreimal multiplizieren. Also 2 3 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\Darstellungsstil 2^{3}=2\cPunkt 2\cPunkt 2} {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2}. Das Ergebnis ist 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=8}{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} . Die Gleichung könnte so vorgelesen werden: 2 hoch 3 ist gleich 8.

Beispiele:

  • 5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\Anzeigestil 5^{3}=5\cPunkt {}5\cPunkt {}5=125} {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}
  • x 2 = x ⋅ x {\darstellungsstil x^{2}=x\cdot {}x} {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}
  • 1 x = 1 {\darstellungsstil 1^{x}=1}{\displaystyle 1^{x}=1} für jede Zahl x

Wenn der Exponent gleich 2 ist, dann wird die Potenz Quadrat genannt, weil die Fläche eines Quadrats unter Verwendung eines 2 {\Darstellungsstils a^{2}} berechnet wird {\displaystyle a^{2}}. Also

x 2 {\darstellungsstil x^{2}}{\displaystyle x^{2}} ist das Quadrat von x {\darstellungsstil x} x

Wenn der Exponent gleich 3 ist, dann wird die Potenz Würfel genannt, weil das Volumen eines Würfels unter Verwendung eines 3 {\Darstellungsstils a^{3}} berechnet wird {\displaystyle a^{3}}. Also

x 3 {\Darstellungsstil x^{3}}{\displaystyle x^{3}} ist der Würfel von x {\Darstellungsstil x} x

Wenn der Exponent gleich -1 ist, muss die Person den Kehrwert der Basis berechnen. Also

x - 1 = 1 x {\darstellungsstil x^{-1}={\frac {1}{x}}}} {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}

Wenn der Exponent eine ganze Zahl ist und kleiner als 0 ist, muss die Person die Zahl invertieren und die Potenz berechnen. Zum Beispiel:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\darstellungsstil 2^{-3}=\links({\frac {1}{2}}}\rechts)^{3}={\frac {1}{8}}}} {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}

Wenn der Exponent gleich 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}}{\displaystyle {\frac {1}{2}}} ist, dann ist das Ergebnis der Potenzierung die Quadratwurzel der Basis. Also x 1 2 = x . {\darstellungsstil x^{\frac {1}{2}}}={\sqrt {x}}}. } {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.}Beispiel:

4 1 2 = 4 = 2 {\Anzeigestil 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}}=2} {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2}

Ähnlich verhält es sich, wenn der Exponent 1 n {\darstellungsstil {\frac {1}{n}}}}{\displaystyle {\frac {1}{n}}} ist, ist das Ergebnis die n-te Wurzel, also:

a 1 n = a n {\darstellungsstil a^{\frac {1}{\n}}={\sqrt[{n}]{a}}}} {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}

Wenn der Exponent eine rationale Zahl ist p q {\darstellungsstil {\frac {p}{q}}}} {\displaystyle {\frac {p}{q}}}dann ist das Ergebnis die q-te Wurzel der Basis hoch p, also

a p q = a p q {\darstellungsstil a^{\frac {p}{q}}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}

Der Exponent ist vielleicht nicht einmal rational. Um eine Basis a auf eine irrationale x-te Potenz zu erhöhen, verwenden wir eine unendliche Folge von rationalen Zahlen (xi), deren Grenze x ist:

x = lim n → ∞ ∞ x n {\Darstellungsstil x=\lim _{n\bis \infty }x_{n}}} {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

wie dieses:

a x = lim n → ∞ a x n {\darstellungsstil a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}} {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}

Es gibt einige Regeln, die bei der Berechnung von Befugnissen helfen:

  • ( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\darstellungsstil \links(a\cPunkt b\rechts)^{n}=a^{n}\cPunkt {}b^{n}} {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}
  • ( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}}\right)^{{n}={\frac {a^{{n}}{b^{n}}}},\quad b\neq 0} {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0}
  • a r ⋅ a s = a r + s {\darstellungsstil a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}} {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}
  • a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}
  • a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\darstellungsstil a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}},\quad a\neq 0} {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0}
  • ( a r ) s = a r ⋅ s {\Anzeigestil \links(a^{r}\rechts)^{s}=a^{r\cdot s}} {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}
  • a 0 = 1 {\Anzeige-Stil a^{0}=1} {\displaystyle a^{0}=1}

Es ist möglich, die Exponentiation von Matrizen zu berechnen. Die Matrix muss quadratisch sein. Zum Beispiel: I 2 = I ⋅ I = I {\darstellungsstil I^{2}=I\cPunkt I=I}{\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} .