Matrix (Mathematik)

Definitionen und Notationen

Die horizontalen Linien in einer Matrix werden als Zeilen und die vertikalen Linien als Spalten bezeichnet. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten wird als m-mal-n-Matrix (oder m×n-Matrix) und m und n als ihre Dimensionen bezeichnet.

Die Stellen in der Matrix, an denen die Nummern stehen, werden als Einträge bezeichnet. Der Eintrag einer Matrix A, der in der Zeilennummer i und der Spaltennummer j liegt, wird als i,j-Eintrag von A bezeichnet. Dies wird als A[i,j] oder ai_,j geschrieben.

Wir schreiben A := ( a i j ) m × n {\darstellungsstil A:=(a_{ij})_{m\mal n}}}, um eine m × n Matrix A zu definieren, wobei jeder Eintrag in der Matrix ai_,j für alle 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n genannt wird.

Beispiel

Die Matrix

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\Anzeigestil {\Beginn{\Matrix}1&2&3\\\\1&2&7\\\4&9&2\\\6&1&5\Ende{\Matrix}}

ist eine 4×3-Matrix. Diese Matrix hat m=4 Zeilen und n=3 Spalten.

Das Element A[2,3] oder a2_,3 ist 7.

Betrieb

Ergänzung

Die Summe zweier Matrizen ist die Matrix, deren (i,j)-ter Eintrag gleich der Summe der (i,j)-ten Einträge zweier Matrizen ist:

[ 1 3 2 1 0 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\Anzeigestil {\Beginn{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Die beiden Matrizen haben die gleichen Abmessungen. Hier gilt A + B = B + A {\darstellungsstil A+B=B+A}.

Multiplikation von zwei Matrizen

Die Multiplikation von zwei Matrizen ist etwas komplizierter:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\Ende{bmatrix}={\Beginn{Matrix}(a1\cPunkt b1+a2\cPunkt b3)&(a1\cPunkt b2+a2\cPunkt b4)\\\(a3\cPunkt b1+a4\cPunkt b3)&(a3\cPunkt b2+a4\cPunkt b4)\\\Ende{bmatrix}}}

Also mit Zahlen:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\Anzeigestil {\Beginn{bmatrix}3&5\\\1&4\\\\Ende{bmatrix}\Punkt {\Beginn{bmatrix}}\Punkt {\Beginn{bmatrix}2&3\\\5&0\\\ende{bmatrix}}={\anfang{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• Zwei Matrizen können miteinander multipliziert werden, auch wenn sie unterschiedliche Dimensionen haben, solange die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix ist.
• das Ergebnis der Multiplikation, das so genannte Produkt, ist eine weitere Matrix mit der gleichen Anzahl von Zeilen wie die erste Matrix und der gleichen Anzahl von Spalten wie die zweite Matrix.
• die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ ist, was im Allgemeinen bedeutet, dass A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\darstellungsstil A\cdot B\neq B\cdot A}
• die Multiplikation von Matrizen ist assoziativ, was bedeutet, dass ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\darstellungsstil (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

Spezielle Matrizen

Es gibt einige Matrizen, die besonders sind.

Quadratische Matrix

Eine quadratische Matrix hat die gleiche Anzahl von Zeilen wie Spalten, also m=n.

Ein Beispiel für eine quadratische Matrix ist

5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\Anzeigestil {\Beginn{Matrix}5&-2&4\\\\0&9&1\\\-7&6&8\\\\\\Ende{Matrix}}}

Diese Matrix hat 3 Zeilen und 3 Spalten: m=n=3.

Identität

Jede quadratische Dimensionsmenge einer Matrix hat ein spezielles Gegenstück, eine so genannte "Identitätsmatrix". Die Identitätsmatrix hat nichts als Nullen, außer auf der Hauptdiagonale, wo es alle Einsen gibt. Ein Beispiel:

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\Anzeigestil {\Beginn{Matrix}1&0&0\\\0&1&0\\\0&0&1\\\\\ Ende{Matrix}}}

ist eine Identitätsmatrix. Für jede quadratische Dimensionsmenge gibt es genau eine Identitätsmatrix. Eine Identitätsmatrix ist deshalb etwas Besonderes, weil bei der Multiplikation einer beliebigen Matrix mit der Identitätsmatrix das Ergebnis immer die ursprüngliche Matrix ohne Änderung ist.

Inverse Matrix

Eine inverse Matrix ist eine Matrix, die, wenn sie mit einer anderen Matrix multipliziert wird, gleich der Identitätsmatrix ist. Zum Beispiel:

[ 7 8 6 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 0 1 ] {\Anzeigestil {\Beginn{Matrix}7&8\\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\Anzeigestil {\Beginn{Matrix}7&-8\\\\-6&7\\\\\\Ende{Matrix}} ist die Umkehrung von [ 7 8 6 7 ] {\Anzeigestil {\Beginn{Matrix}7&8\\\6&7\\\\\\ Ende{Matrix}} .

Die Formel für die Umkehrung einer 2x2-Matrix, [ x y z v ] {\darstellungsstil {\begin{bmatrix}x&y\\\z&v\end{bmatrix}}} lautet:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\\-z&x\end{bmatrix}}}

wobei d e t {\displaystyle det} die Determinante der Matrix ist. In einer 2x2-Matrix ist die Determinante gleich:

x v - y z {\Anzeigestil {xv-yz}}

Einspaltige Matrix

Eine Matrix, die viele Zeilen, aber nur eine Spalte hat, wird als Spaltenvektor bezeichnet.

Determinanten

Die Determinante nimmt eine quadratische Matrix und berechnet eine einfache Zahl, einen Skalar. Um zu verstehen, was diese Zahl bedeutet, nimmt man jede Spalte der Matrix und zeichnet sie als Vektor. Das von diesen Vektoren gezeichnete Parallelogramm hat eine Fläche, die die Determinante ist. Für alle 2x2 Matrizen ist die Formel sehr einfach: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}

Für 3x3-Matrizen ist die Formel komplizierter: det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\det \links({\Beginn{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Es gibt keine einfachen Formeln für die Determinanten größerer Matrizen, und viele Computerprogrammierer untersuchen, wie man Computer dazu bringt, schnell große Determinanten zu finden.

Eigenschaften von Determinanten

Es gibt drei Regeln, denen alle Determinanten folgen. Diese sind:

• Die Determinante einer Identitätsmatrix ist 1
• Wenn zwei Zeilen oder zwei Spalten der Matrix vertauscht werden, wird die Determinante mit -1 multipliziert. Mathematiker nennen dies alternierend.
• Wenn alle Zahlen in einer Zeile oder Spalte mit einer weiteren Zahl n multipliziert werden, dann wird die Determinante mit n multipliziert. Auch wenn eine Matrix M eine Spalte v hat, die die Summe von zwei Spaltenmatrizen v 1 {\Darstellungsstil v_{1}} und v 2 {\Darstellungsstil v_{2}} ist, wird die Determinante mit n multipliziert. , dann ist die Determinante von M die Summe der Determinanten von M mit v 1 {\Darstellungsstil v_{1}} anstelle von v und M mit v 2 {\Darstellungsstil v_{2}} anstelle von v. Diese beiden Bedingungen werden als Multilinearität bezeichnet.

Siehe auch

• Lineare Algebra
• Numerische lineare Algebra