Zahl: Definition, Typen (Kardinal & Ordinal) und Anwendungen

Zahlen für Menschen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Zahlen mit Symbolen zu versehen. Diese Methoden werden Zahlensysteme genannt. Das gebräuchlichste Zahlensystem, das die Menschen verwenden, ist das Zehner-Basis-Zahlensystem. Das Zehner-Basis-Zahlensystem wird auch als Dezimalzahlensystem bezeichnet. Das Zehner-Zahlensystem ist üblich, weil Menschen zehn Finger und zehn Zehen haben. Es gibt 10 verschiedene Symbole {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9}, die im Zehner-Basis-Zahlensystem verwendet werden. Diese zehn Symbole werden Ziffern genannt.

Ein Symbol für eine Zahl setzt sich aus diesen zehn Ziffern zusammen. Die Position der Ziffern zeigt an, wie groß die Zahl ist. Zum Beispiel bedeutet die Zahl 23 im dezimalen Zahlensystem tatsächlich (2 mal 10) plus 3, und 101 bedeutet 1 mal hundert (=100) plus 0 mal 10 (=0) plus 1 mal 1 (=1).

Nummern für Maschinen

Bei Maschinen ist ein anderes Zahlensystem gebräuchlicher. Das Maschinennummernsystem wird als binäres Zahlensystem bezeichnet. Das binäre Zahlensystem wird auch als Zahlensystem zur Basis zwei bezeichnet. Es gibt zwei verschiedene Symbole (0 und 1), die im Zahlensystem zur Basis zwei verwendet werden. Diese beiden Symbole werden Bits genannt.

Ein Symbol für eine Binärzahl setzt sich aus diesen beiden Bit-Symbolen zusammen. Die Position der Bitsymbole zeigt, wie groß die Zahl ist. Zum Beispiel bedeutet die Zahl 10 im binären Zahlensystem in Wirklichkeit 1 mal 2 plus 0, und 101 bedeutet 1 mal vier (=4) plus 0 mal zwei (=0) plus 1 mal 1 (=1). Die Binärzahl 10 ist die gleiche wie die Dezimalzahl 2. Die Binärzahl 101 ist die gleiche wie die Dezimalzahl 5.

Englisch hat spezielle Namen für einige der Zahlen im Dezimalzahlensystem, die "Zehnerpotenzen" sind. All diese Zehnerpotenzen im dezimalen Zahlensystem verwenden nur das Symbol "1" und das Symbol "0". Zehn Zehner ist zum Beispiel das Gleiche wie zehn mal zehn oder hundert. In Symbolen ist dies "10 × 10 = 100". Zehnhundert ist auch dasselbe wie zehnmal hundert oder tausend. In Symbolen ist dies "10 × 100 = 10 × 10 × 10 × 10 = 1000". Einige andere Zehnerpotenzen von Zahlen haben ebenfalls besondere Namen:

• 1 - eins
• 10 - zehn
• 100 - einhundert
• 1000 - eintausend
• 1.000.000 - eine Million

Wenn es sich um größere Zahlen handelt, gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten, die Zahlen auf Englisch zu benennen. Bei der "langen Skala" wird jedes Mal ein neuer Name vergeben, wenn die Zahl eine Million Mal größer ist als die zuletzt genannte Zahl. Sie wird auch als "British Standard" bezeichnet. Diese Skala war früher in Großbritannien üblich, wird aber heute in englischsprachigen Ländern nicht mehr oft verwendet. In einigen anderen europäischen Ländern wird sie noch immer verwendet. Eine andere Skala ist die "kurze Skala", nach der jedes Mal ein neuer Name vergeben wird, wenn eine Zahl tausendmal größer ist als die zuletzt genannte Zahl. Diese Skala ist heute in den meisten englischsprachigen Ländern sehr viel häufiger anzutreffen.

• 1.000.000.000 - eine Milliarde (kurze Skala), eine Milliarde (lange Skala)
• 1.000.000.000.000.000 - eine Billion (kurze Skala), eine Milliarde (lange Skala)
• 1.000.000.000.000.000.000 - eine Billiarde (kurze Skala), eine Billiard (lange Skala)

Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die wir normalerweise zum Zählen verwenden: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 usw. Einige Leute sagen, dass 0 auch eine natürliche Zahl ist.

Ein anderer Name für diese Zahlen sind positive Zahlen. Diese Zahlen werden manchmal als +1 geschrieben, um zu zeigen, dass sie sich von den negativen Zahlen unterscheiden. Aber nicht alle positiven Zahlen sind natürlich (z.B. ist 1 2 {\darstellungsstil {\frac {1}{2}}} positiv, aber nicht natürlich).

Wenn 0 eine natürliche Zahl genannt wird, dann sind die natürlichen Zahlen gleich den ganzen Zahlen. Wenn 0 nicht als natürliche Zahl bezeichnet wird, dann sind die natürlichen Zahlen gleich den Zählzahlen. Wenn also die Worte "natürliche Zahlen" nicht verwendet werden, dann gibt es weniger Verwirrung darüber, ob die Null enthalten ist oder nicht. Aber leider sagen auch einige, dass die Null keine ganze Zahl ist, und einige sagen, dass ganze Zahlen negativ sein können. "Positive ganze Zahlen" und "nicht-negative ganze Zahlen" sind eine weitere Möglichkeit, die Null einzubeziehen oder die Null auszuschliessen, aber nur, wenn man diese Wörter kennt.

Negative Zahlen

Negative Zahlen sind Zahlen kleiner als Null.

Eine Möglichkeit, an negative Zahlen zu denken, ist die Verwendung einer Zahlenreihe. Wir nennen einen Punkt auf dieser Linie Null. Dann beschriften (schreiben wir den Namen) jede Position auf der Linie damit, wie weit rechts vom Nullpunkt sie sich befindet, z.B. der Punkt eins liegt einen Zentimeter rechts, der Punkt zwei zwei Zentimeter rechts.

Denken Sie nun an einen Punkt, der einen Zentimeter links vom Nullpunkt liegt. Wir können diesen Punkt nicht Eins nennen, da es bereits einen Punkt gibt, der Eins genannt wird. Deshalb nennen wir diesen Punkt minus 1 (-1) (da er einen Zentimeter entfernt ist, aber in der entgegengesetzten Richtung).

Unten sehen Sie eine Zeichnung einer Zahlenlinie.

Alle normalen Operationen der Mathematik können mit negativen Zahlen durchgeführt werden:

Wenn man eine negative Zahl zu einer anderen hinzufügt, ist das dasselbe, als würde man die positive Zahl mit denselben Ziffern wegnehmen. Zum Beispiel ist 5 + (-3) dasselbe wie 5 - 3 und ist gleich 2.

Wenn sie eine negative Zahl von einer anderen wegnehmen, ist dies dasselbe wie das Hinzufügen der positiven Zahl mit denselben Ziffern. Zum Beispiel ist 5 - (-3) dasselbe wie 5 + 3 und entspricht 8.

Wenn sie zwei negative Zahlen miteinander multiplizieren, erhalten sie eine positive Zahl. Zum Beispiel, -5 mal -3 ist 15.

Wenn sie eine negative Zahl mit einer positiven Zahl multiplizieren oder eine positive Zahl mit einer negativen Zahl multiplizieren, erhalten sie ein negatives Ergebnis. Zum Beispiel, 5 mal -3 ist -15.

Da es unmöglich ist, die Quadratwurzel einer negativen Zahl zu finden, da negative Zeiten negative Gleichungen besitzen. Wir simbolisieren die Quadratwurzel einer negativen Zahl als i.

Ganze Zahlen

Ganze Zahlen sind alle natürlichen Zahlen, alle ihre Gegensätze und die Zahl Null. Dezimalzahlen und Brüche sind keine ganzen Zahlen.

Rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind Zahlen, die als Brüche geschrieben werden können. Das bedeutet, dass sie als a geteilt durch b geschrieben werden können, wobei die Zahlen a und b ganze Zahlen sind und b ungleich 0 ist.

Einige rationale Zahlen, wie z.B. 1/10, benötigen eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, um sie in Dezimalform zu schreiben. Die Zahl ein Zehntel wird in Dezimalform als 0,1 geschrieben. Zahlen, die mit einer endlichen Dezimalform geschrieben werden, sind rational. Einige rationale Zahlen, wie z.B. 1/11, benötigen eine unendliche Anzahl von Nachkommastellen, um sie in Dezimalform zu schreiben. Es gibt ein sich wiederholendes Muster für die Ziffern nach dem Dezimalpunkt. Die Zahl eine Elftel wird in Dezimalform als 0.0909090909 ... geschrieben.

Einen Prozentsatz könnte man als rationale Zahl bezeichnen, da ein Prozentsatz wie 7% als Bruch 7/100 geschrieben werden kann. Er kann auch als Dezimalzahl 0,07 geschrieben werden. Manchmal wird ein Verhältnis als rationale Zahl betrachtet.

Irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen sind Zahlen, die nicht als Bruch geschrieben werden können, aber keine Imaginärteile haben (wird später erläutert).

Irrationale Zahlen kommen häufig in der Geometrie vor. Wenn wir zum Beispiel ein Quadrat mit 1 Meter Seitenlänge haben, ist der Abstand zwischen den gegenüberliegenden Ecken die Quadratwurzel aus zwei, die gleich 1,414213 ist ... . Dies ist eine irrationale Zahl. Mathematiker haben bewiesen, dass die Quadratwurzel jeder natürlichen Zahl entweder eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl ist.

Eine bekannte irrationale Zahl ist pi. Dies ist der Umfang (Abstand um) eines Kreises geteilt durch seinen Durchmesser (Abstand über). Diese Zahl ist für jeden Kreis gleich. Die Zahl pi ist ungefähr 3,1415926535 ... .

Eine irrationale Zahl kann nicht vollständig in Dezimalform aufgeschrieben werden. Sie hätte eine unendliche Anzahl von Nachkommastellen. Im Gegensatz zu 0,333333 ... würden sich diese Ziffern nicht ewig wiederholen.

Reale Zahlen

Reelle Zahlen ist ein Name für alle oben aufgeführten Zahlenmengen:

• Die rationalen Zahlen, einschließlich der ganzen Zahlen
• Die irrationalen Zahlen

Dies sind alle Zahlen, bei denen es sich nicht um imaginäre Zahlen handelt.

Imaginäre Zahlen

Imaginäre Zahlen werden durch reelle Zahlen multipliziert mit der Zahl i gebildet. Diese Zahl ist die Quadratwurzel aus minus eins (-1).

Es gibt keine Zahl in den reellen Zahlen, die bei der Quadrierung die Zahl -1 ergibt. Deshalb haben Mathematiker eine Zahl erfunden. Sie nannten diese Zahl i, oder die imaginäre Einheit.

Imaginäre Zahlen funktionieren nach den gleichen Regeln wie reelle Zahlen:

• Die Summe zweier imaginärer Zahlen wird durch Herausziehen (Ausklammern) des i gefunden. Zum Beispiel: 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Die Differenz zweier imaginärer Zahlen wird ähnlich gefunden. Zum Beispiel: 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Wenn Sie zwei imaginäre Zahlen multiplizieren, denken Sie daran, dass i × i (i2) gleich -1 ist. Zum Beispiel: 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Imaginäre Zahlen wurden imaginäre Zahlen genannt, weil viele Mathematiker, als sie zum ersten Mal gefunden wurden, nicht glaubten, dass sie existieren. Die Person, die die imaginären Zahlen entdeckte, war Gerolamo Cardano in den 1500er Jahren. Der erste, der das Wort imaginäre Zahl verwendete, war René Descartes. Die ersten Menschen, die diese Zahlen benutzten, waren Leonard Euler und CarlFriedrich Gauß. Beide lebten im 18. Jahrhundert.

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen sind Zahlen, die aus zwei Teilen bestehen: einem Realteil und einem Imaginärteil. Jede oben geschriebene Zahlenart ist auch eine komplexe Zahl.

Komplexe Zahlen sind eine allgemeinere Form von Zahlen. Die komplexen Zahlen können auf einer Zahlenebene gezeichnet werden. Diese besteht aus einer reellen Zahlenreihe und einer imaginären Zahlenreihe.

Die gesamte normale Mathematik kann mit komplexen Zahlen durchgeführt werden:

• Um zwei komplexe Zahlen zu addieren, addieren Sie den Real- und den Imaginärteil getrennt. Zum Beispiel: (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Um eine komplexe Zahl von einer anderen zu subtrahieren, subtrahieren Sie den Real- und Imaginärteil getrennt. Zum Beispiel: (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ist kompliziert. Am einfachsten lässt es sich in allgemeinen Worten beschreiben, mit zwei komplexen Zahlen a + bi und c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\Anzeigestil (a+b\mathrm {i} )\mal (c+d\mathrm {i} )=a\mal c+a\mal d\mathrm {i} +{b\mathrm {i} \ mal c+b\mathrm {i} \mal d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Zum Beispiel: (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Transzendente Zahlen

Eine reelle oder komplexe Zahl wird als transzendente Zahl bezeichnet, wenn sie nicht als Ergebnis einer algebraischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten erhalten werden kann.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\Anzeigestil a_{n}x^{n}+\Punkte +a_{{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Der Nachweis, dass eine bestimmte Zahl transzendentaler Natur ist, kann äußerst schwierig sein. Jede transzendente Zahl ist auch eine irrationale Zahl. Die ersten Menschen, die sahen, dass es transzendente Zahlen gab, waren Gottfried Wilhelm Leibniz und Leonhard Euler. Der erste, der tatsächlich bewies, dass es transzendente Zahlen gab, war Joseph Liouville. Er tat dies 1844.

Bekannte transzendentale Zahlen:

• e
• π
• ea für Algebraisch a ≠ 0
• 2 2 {\Anzeigestil 2^{\sqrt {2}}}