Reelle Zahl

Eine reelle Zahl ist eine rationale oder irrationale Zahl. Wenn Leute "Zahl" sagen, meinen sie gewöhnlich "reelle Zahl". Das offizielle Symbol für reelle Zahlen ist ein fettes R oder eine Tafel fettes R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ .

Einige reale Zahlen werden als positiv bezeichnet. Eine positive Zahl ist "größer als Null". Man kann sich reelle Zahlen als ein unendlich langes Lineal vorstellen. Es gibt eine Markierung für die Null und jede andere Zahl, in der Reihenfolge ihrer Größe. Im Gegensatz zu einem Lineal gibt es Zahlen unter Null. Diese werden als negative reelle Zahlen bezeichnet. Negative Zahlen sind "kleiner als Null". Sie sind wie ein Spiegelbild der positiven Zahlen, nur dass sie mit Minuszeichen (-) versehen sind, damit sie anders als die positiven Zahlen bezeichnet werden.

Es gibt unendlich viele reale Zahlen. Es gibt keine kleinste oder größte reelle Zahl. Ganz gleich, wie viele reelle Zahlen gezählt werden, es gibt immer mehr, die gezählt werden müssen. Es gibt keine Leerzeichen zwischen reellen Zahlen. Das bedeutet, dass, wenn zwei verschiedene reelle Zahlen genommen werden, immer eine dritte reelle Zahl zwischen ihnen steht, egal wie nahe die ersten beiden Zahlen beieinander liegen.

Wenn eine positive Zahl zu einer anderen positiven Zahl hinzugefügt wird, wird diese Zahl größer. Auch die Null ist eine reelle Zahl. Wenn eine Null zu einer Zahl addiert wird, ändert sich diese Zahl nicht. Wenn eine negative Zahl zu einer anderen Zahl addiert wird, wird diese Zahl kleiner.

Die realen Zahlen sind unzählbar. Das bedeutet, dass es keine Möglichkeit gibt, alle reellen Zahlen in eine Reihenfolge zu bringen. Jede Folge von reellen Zahlen wird eine reelle Zahl auslassen, auch wenn die Folge unendlich ist. Das macht die Reellen Zahlen zu etwas Besonderem. Auch wenn es unendlich viele reelle Zahlen und unendlich viele ganze Zahlen gibt, können wir sagen, dass es "mehr" reelle Zahlen als ganze Zahlen gibt, weil die ganzen Zahlen abzählbar sind und die reellen Zahlen nicht abzählbar sind.

Einige einfachere Zahlensysteme befinden sich innerhalb der reellen Zahlen. Zum Beispiel sind die rationalen Zahlen und die ganzen Zahlen alle in den Reellen Zahlen. Es gibt auch kompliziertere Zahlensysteme als die Reellen Zahlen, wie z.B. die komplexen Zahlen. Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl, aber nicht jede komplexe Zahl ist eine reelle Zahl.

Verschiedene Arten von reellen Zahlen

Es gibt verschiedene Arten von reellen Zahlen. Manchmal wird nicht über alle reellen Zahlen auf einmal gesprochen. Manchmal wird nur über spezielle, kleinere Mengen von ihnen gesprochen. Diese Mengen haben besondere Namen. Das sind sie:

Natürliche Zahlen: Dies sind reelle Zahlen, die keine Dezimalstelle haben und größer als Null sind.
Ganze Zahlen: Dies sind positive reelle Zahlen, die keine Nachkommastellen haben, und auch Null. Natürliche Zahlen sind auch ganze Zahlen.
Ganze Zahlen: Dies sind reelle Zahlen, die keine Dezimalstellen haben. Dazu gehören sowohl positive als auch negative Zahlen. Ganze Zahlen sind auch ganze Zahlen.
Rationale Zahlen: Dies sind reelle Zahlen, die sich als Bruchteile von ganzen Zahlen aufschreiben lassen. Auch ganze Zahlen sind rationale Zahlen.
Transzendente Zahlen können nicht durch Lösen einer Gleichung mit ganzzahligen Komponenten erhalten werden.
Irrationale Zahlen: Dies sind reelle Zahlen, die nicht als Bruchteil von ganzen Zahlen geschrieben werden können. Transzendente Zahlen sind ebenfalls irrational.

Die Zahl 0 (Null) ist speziell. Manchmal wird sie als Teil der zu betrachtenden Teilmenge betrachtet, zu anderen Zeiten ist sie es nicht. Sie ist das Identitätselement für Addition und Subtraktion. Das bedeutet, dass das Addieren oder Subtrahieren von Null die ursprüngliche Zahl nicht verändert. Bei Multiplikation und Division ist das Identitätselement 1.

Eine reelle Zahl, die nicht rational ist, ist 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ . Diese Zahl ist irrational. Wenn ein Quadrat mit Seiten gezeichnet wird, die eine Einheit lang sind, beträgt die Länge der Linie zwischen seinen gegenüberliegenden Ecken 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ .

Fragen und Antworten

F: Was ist eine reelle Zahl?

A: Eine reelle Zahl ist jede rationale oder irrationale Zahl, die durch Dezimalentwicklung ausgedrückt werden kann. Sie ist die häufigste Art von Zahl, auf die man sich bezieht, wenn man "Zahl" sagt.

F: Welches Symbol steht für reelle Zahlen?

A: Das offizielle Symbol für reelle Zahlen ist ein fettes R oder ein fetter R-Zug auf der Tafel {\displaystyle \mathbb {R} } .

F: Was ist der Unterschied zwischen positiven und negativen Zahlen?

A: Positive Zahlen sind "größer als Null", während negative Zahlen "kleiner als Null" sind und mit einem Minuszeichen (-) versehen sind, damit sie anders bezeichnet werden können als die positiven Zahlen.

F: Gibt es mehr reelle Zahlen als ganze Zahlen?

A: Ja, es gibt unendlich viele reelle Zahlen, während die ganzen Zahlen abzählbar sind. Das bedeutet, dass es zwar unendlich viele von beiden Arten von Zahlen gibt, aber dennoch mehr reelle Zahlen als ganze Zahlen.

F: Sind alle komplexen Zahlen auch reelle Zahlen?

A: Nein, jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl, aber nicht jede komplexe Zahl ist eine reelle Zahl. In ähnlicher Weise ist 3/7 eine rationale Zahl, aber keine ganze Zahl.

F: Ist es möglich, alle reellen Zahlen in eine Reihenfolge zu bringen?

A: Nein, denn die Menge aller reellen Zahlen ist nicht abzählbar. Das heißt, egal wie lang die Folge sein mag, es wird immer mindestens eine von ihnen fehlen.