Reelle Zahlen – Definition, Eigenschaften und Beispiele

Reelle Zahlen erklärt: Definition, Eigenschaften, Beispiele und anschauliche Visualisierungen – rationale vs. irrationale, positiv/negativ, Dichte und Unendlichkeit leicht verständlich.

Autor: Leandro Alegsa

05-02-2026 21:50

Eine reelle Zahl ist eine rationale oder irrationale Zahl. Wenn Leute "Zahl" sagen, meinen sie gewöhnlich "reelle Zahl". Das offizielle Symbol für reelle Zahlen ist ein fettes R oder eine Tafel fettes R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ .

Anschauliche Vorstellung: die Zahlengerade

Man kann sich die reellen Zahlen als ein unendlich langes Lineal vorstellen, die sogenannte Zahlengerade. Dort gibt es eine Markierung für die Null und für jede andere reelle Zahl, gemäß ihrer Größe. Zahlen rechts von Null sind positiv, Zahlen links von Null sind negativ. Negative Zahlen sind sozusagen das Spiegelbild der positiven Zahlen und werden durch ein Minuszeichen (−) gekennzeichnet.

Ordnungs- und Recheneigenschaften

Die reellen Zahlen bilden ein geordnetes Feld: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (durch von Null verschiedene Zahlen) sind definiert und ergeben wieder reelle Zahlen.
Die Menge ℝ ist abgeschlossen unter den Grundrechenarten (mit Ausnahme der Division durch 0).
Wenn eine positive Zahl zu einer anderen addiert wird, wird die Summe größer; addiert man eine negative Zahl, wird sie kleiner. Die Null ist das neutrale Element der Addition.
Die Reellen erfüllen das Archimedische Prinzip: zu jeder reellen Zahl gibt es ein natürliches n, sodass n größer ist als diese Zahl.

Dichte, Dezimaldarstellung und Zwischenwerte

Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegt stets eine dritte reelle Zahl — es gibt also keine "Lücken" auf der Zahlengeraden. Diese Eigenschaft heißt Dichte. Genauer gilt: zwischen zwei reellen Zahlen gibt es sogar sowohl rationale als auch irrationale Zahlen.

Reelle Zahlen lassen sich oft durch Dezimaldarstellungen beschreiben. Rationale Zahlen haben eine endliche oder periodische Dezimaldarstellung (z. B. 0,5 = 0,500… oder 1/3 = 0,333…), irrationale Zahlen haben nicht-periodische, unendliche Dezimaldarstellungen (z. B. √2 ≈ 1,4142135… , π ≈ 3,14159…).

Vollständigkeit und Supremumseigenschaft

Eine wichtige, für die Analysis zentrale Eigenschaft der reellen Zahlen ist die Vollständigkeit: jede Cauchy-Folge reeller Zahlen konvergiert zu einer reellen Zahl. Äquivalent dazu ist die sogenannte Supremumseigenschaft (Existenz von kleinsten oberen Schranken): jede nach oben beschränkte Teilmenge von ℝ hat ein Supremum (eine kleinste obere Schranke). Diese Eigenschaft unterscheidet ℝ z. B. von den rationalen Zahlen.

Kardinalität: abzählbar und unzählbar

Die Menge der reellen Zahlen ist unzählbar. Das bedeutet, man kann die reellen Zahlen nicht in eine Folge bringen, die jede reelle Zahl genau einmal aufzählt. Jede Folge reeller Zahlen lässt mindestens eine reelle Zahl aus. Dadurch gibt es "mehr" reelle Zahlen als ganze Zahlen: die ganzen Zahlen sind abzählbar, die reellen Zahlen hingegen nicht.

Formell sagt man, die Mächtigkeit (Kardinalität) von ℝ ist die Kontinuums-Kardinalität c, die größer ist als die abzählbare Unendlichkeit ℵ0.

Unter- und Obergruppen von Zahlensystemen

Einige einfachere Zahlensysteme liegen in den reellen Zahlen:

Die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen (Z) sind Teilmengen von ℝ.
Die rationalen Zahlen sind ebenfalls in ℝ enthalten.

Es gibt auch größere oder andersartige Zahlensysteme: die komplexen Zahlen enthalten die reellen Zahlen als Teilmenge (jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl mit Imaginärteil 0), aber nicht jede komplexe Zahl ist reell.

Beispiele

Ganze Zahlen: …, −2, −1, 0, 1, 2, …
Rationale Zahlen: 1/2, −3/4, 5 (als 5/1)
Irrationale Zahlen: √2, π, e

Anwendungen und Bedeutung

Reelle Zahlen bilden die Grundlage der Analysis, der Differential- und Integralrechnung, und sind in Physik, Technik und vielen Bereichen der Natur- und Wirtschaftswissenschaften unverzichtbar, weil sie kontinuierliche Größen (Längen, Zeiten, Temperaturen, Wahrscheinlichkeiten u. a.) modellieren.

Zusammenfassung

Die reellen Zahlen ℝ sind die grundlegende Menge von Zahlen, die sowohl rationale als auch irrationale Zahlen umfasst. Sie sind ein vollständiges, geordnetes Feld ohne Lücken, dicht geordnet und unzählbar. Viele einfachere Zahlensysteme sind Teilmengen von ℝ, und ℝ selbst ist in weiter gefasste Systeme wie die komplexen Zahlen eingebettet.

Verschiedene Arten von reellen Zahlen

Es gibt verschiedene Arten von reellen Zahlen. Manchmal wird nicht über alle reellen Zahlen auf einmal gesprochen. Manchmal wird nur über spezielle, kleinere Mengen von ihnen gesprochen. Diese Mengen haben besondere Namen. Das sind sie:

Natürliche Zahlen: Dies sind reelle Zahlen, die keine Dezimalstelle haben und größer als Null sind.
Ganze Zahlen: Dies sind positive reelle Zahlen, die keine Nachkommastellen haben, und auch Null. Natürliche Zahlen sind auch ganze Zahlen.
Ganze Zahlen: Dies sind reelle Zahlen, die keine Dezimalstellen haben. Dazu gehören sowohl positive als auch negative Zahlen. Ganze Zahlen sind auch ganze Zahlen.
Rationale Zahlen: Dies sind reelle Zahlen, die sich als Bruchteile von ganzen Zahlen aufschreiben lassen. Auch ganze Zahlen sind rationale Zahlen.
Transzendente Zahlen können nicht durch Lösen einer Gleichung mit ganzzahligen Komponenten erhalten werden.
Irrationale Zahlen: Dies sind reelle Zahlen, die nicht als Bruchteil von ganzen Zahlen geschrieben werden können. Transzendente Zahlen sind ebenfalls irrational.

Die Zahl 0 (Null) ist speziell. Manchmal wird sie als Teil der zu betrachtenden Teilmenge betrachtet, zu anderen Zeiten ist sie es nicht. Sie ist das Identitätselement für Addition und Subtraktion. Das bedeutet, dass das Addieren oder Subtrahieren von Null die ursprüngliche Zahl nicht verändert. Bei Multiplikation und Division ist das Identitätselement 1.

Eine reelle Zahl, die nicht rational ist, ist 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ . Diese Zahl ist irrational. Wenn ein Quadrat mit Seiten gezeichnet wird, die eine Einheit lang sind, beträgt die Länge der Linie zwischen seinen gegenüberliegenden Ecken 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ .

Fragen und Antworten

F: Was ist eine reelle Zahl?

A: Eine reelle Zahl ist jede rationale oder irrationale Zahl, die durch Dezimalentwicklung ausgedrückt werden kann. Sie ist die häufigste Art von Zahl, auf die man sich bezieht, wenn man "Zahl" sagt.

F: Welches Symbol steht für reelle Zahlen?

A: Das offizielle Symbol für reelle Zahlen ist ein fettes R oder ein fetter R-Zug auf der Tafel {\displaystyle \mathbb {R} } .

F: Was ist der Unterschied zwischen positiven und negativen Zahlen?

A: Positive Zahlen sind "größer als Null", während negative Zahlen "kleiner als Null" sind und mit einem Minuszeichen (-) versehen sind, damit sie anders bezeichnet werden können als die positiven Zahlen.

F: Gibt es mehr reelle Zahlen als ganze Zahlen?

A: Ja, es gibt unendlich viele reelle Zahlen, während die ganzen Zahlen abzählbar sind. Das bedeutet, dass es zwar unendlich viele von beiden Arten von Zahlen gibt, aber dennoch mehr reelle Zahlen als ganze Zahlen.

F: Sind alle komplexen Zahlen auch reelle Zahlen?

A: Nein, jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl, aber nicht jede komplexe Zahl ist eine reelle Zahl. In ähnlicher Weise ist 3/7 eine rationale Zahl, aber keine ganze Zahl.

F: Ist es möglich, alle reellen Zahlen in eine Reihenfolge zu bringen?

A: Nein, denn die Menge aller reellen Zahlen ist nicht abzählbar. Das heißt, egal wie lang die Folge sein mag, es wird immer mindestens eine von ihnen fehlen.

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