Komplexe Zahl
Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, unterscheidet sich aber in vielerlei Hinsicht von gewöhnlichen Zahlen. Eine komplexe Zahl setzt sich aus zwei miteinander kombinierten Zahlen zusammen. Der erste Teil ist eine reelle Zahl. Der zweite Teil einer komplexen Zahl ist eine imaginäre Zahl. Die wichtigste imaginäre Zahl heisst i {\Darstellungsstil i}
, definiert als eine Zahl, die bei der Quadrierung -1 ist ("quadriert" bedeutet "mit sich selbst multipliziert"): i 2 = i × i = - 1 {\Darstellungsstil i^{2}=i\mal i=-1\ } 
. Alle anderen imaginären Zahlen sind i {\Darstellungsstil i} multipliziert mit einer reellen Zahl, so wie man sich alle reellen Zahlen als 1 multipliziert mit einer anderen Zahl vorstellen kann. Arithmetische Funktionen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division können mit komplexen Zahlen verwendet werden. Sie folgen ebenfalls kommutativen, assoziativen und distributiven Eigenschaften, genau wie reelle Zahlen.
Komplexe Zahlen wurden entdeckt, als man versuchte, spezielle Gleichungen zu lösen, in denen Exponenten vorkommen. Diese begannen, echte Probleme für Mathematiker aufzuwerfen. Zum Vergleich: Mit Hilfe negativer Zahlen ist es möglich, das x in der Gleichung a + x = b {\Darstellungsstil a+x=b}
für alle reellen Werte von a und b zu finden, aber wenn nur positive Zahlen für x erlaubt sind, ist es manchmal unmöglich, ein positives x zu finden, wie in der Gleichung 3 + x = 1.
Mit der Potenzierung gibt es eine Schwierigkeit, die es zu überwinden gilt. Es gibt keine reelle Zahl, die im Quadrat -1 ergibt. Mit anderen Worten: -1 (oder jede andere negative Zahl) hat keine reelle Quadratwurzel. Zum Beispiel gibt es keine reelle Zahl x {\Darstellungsstil x}
, die ( x + 1 ) 2 = - 9 {\Darstellungsstil (x+1)^{2}=-9}
löst. Um dieses Problem zu lösen, führten Mathematiker ein Symbol i ein und nannten es eine imaginäre Zahl. Dies ist die imaginäre Zahl, die -1 ergibt, wenn sie quadriert wird.
Die ersten Mathematiker, die darüber nachgedacht haben, waren wahrscheinlich Gerolamo Cardano und Raffaele Bombelli. Sie lebten im 16. Jahrhundert. Es war wahrscheinlich Leonhard Euler, der das Schreiben i {\displaystyle \mathrm {i} einführte. } 
für diese Nummer.
Alle komplexen Zahlen können als a + b i {\darstellungsstil a+bi} geschrieben werden 
(oder a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), wobei a der Realteil der Zahl und b der Imaginärteil genannt wird. Wir schreiben ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
oder Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re}. (z)} 
für den Realteil einer komplexen Zahl z {\darstellungsstil z} 
. Wenn also z = a + b i {\darstellungsstil z=a+bi}
, schreiben wir a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\darstellungsstil a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}
. In ähnlicher Weise schreiben wir ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} 
oder Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im}. (z)} 
für den Imaginärteil einer komplexen Zahl z {\darstellungsstil z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\darstellungsstil b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} 
Jede reelle Zahl ist auch eine komplexe Zahl; sie ist eine komplexe Zahl z mit ℑ ( z ) = 0 {\darstellungsstil \Im (z)=0}
.
Die komplexe Zahl kann auch als geordnetes Paar (a, b) geschrieben werden. Sowohl a als auch b sind reelle Zahlen. Jede reelle Zahl kann einfach als a + 0 ⋅ i {\darstellungsstil a+0\cdot i} 
oder als das Paar (a, 0) geschrieben werden.
Manchmal wird j {\displaystyle j}
anstelle von i {\displaystyle i} geschrieben. In der Elektrotechnik bedeutet i {\displaystyle i} elektrischer Strom. Das Schreiben von i {\displaystyle i} kann eine Menge Probleme verursachen, da einige Zahlen in der Elektrotechnik komplexe Zahlen sind.
Die Menge aller komplexen Zahlen wird in der Regel als C {\displaystyle \mathbb {C} geschrieben } 
.
Operationen über komplexe Zahlen
Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, solange der Divisor nicht Null ist, und Potenzierung (Erhöhung von Zahlen zu Exponenten) sind bei komplexen Zahlen möglich. Auch einige andere Berechnungen sind mit komplexen Zahlen möglich.
Die Regel für die Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen ist ziemlich einfach:
Sei z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\darstellungsstil z=(a+bi),w=(c+di)} 
, dann z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\darstellungsstil z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i} 
, und z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\darstellungsstil z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
Die Multiplikation ist ein bisschen anders:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\Anzeigestil z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
Eine weitere bemerkenswerte Operation für komplexe Zahlen ist die Konjugation. Eine komplexe Konjugation z ¯ {\Darstellungsstil {\Überstrich {z}}} 
zu z = a + b i {\Darstellungsstil z=a+bi} ist a - b i {\Darstellungsstil a-bi}
. Es ist ziemlich einfach, aber wichtig für Berechnungen, denn z × z ¯ {\darstellungsstil z\mal {\überstrichen {z}}} 
gehört zu den reellen Zahlen für alle komplexen z {\darstellungsstil z} :
z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\darstellungsstil z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} 
.
Wir können dies zur Teilung nutzen:
1 z = z ¯ z z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\Anzeigestil {\frac {w}{z}}}=w({\frac {1}{z}}})=(c+di)\cdot \links({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\rechts)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\links((cx+dy)+(dx-cy)i\rechts). } 
Andere Formen der Beschreibung komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen können auf einer sogenannten komplexen Ebene dargestellt werden. Wenn Sie eine Zahl z = a + b i {\Darstellungsstil z=a+bi} haben, können Sie zu einem Punkt auf der reellen Achse und zu b auf der imaginären Achse gehen und einen Vektor von ( 0 , 0 ) {\Darstellungsstil (0,0)} 
nach ( a , b ) {\Darstellungsstil (a,b)} zeichnen
. Die Länge dieses Vektors kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras und des Winkels zwischen der positiven reellen Achse und diesem Vektor gegen den Uhrzeigersinn berechnet werden. Die Länge eines Vektors für eine Zahl z {\darstellungsstil z} wird sein Modulus genannt (geschrieben als | z | {\darstellungsstil |z|}
), und der Winkel wird sein Argument genannt ( arg z {\darstellungsstil \arg z}
).
Daraus ergibt sich die trigonometrische Form der Beschreibung komplexer Zahlen: Durch die Definitionen von Sinus und Kosinus steht für alle z {\Darstellungsstil z}
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
Dies steht in engem Zusammenhang mit der Formel von De Moivre.
Es gibt sogar noch eine andere Form, die so genannte Exponentialform.
Eine komplexe Zahl kann visuell als zwei Zahlen dargestellt werden, die in einem Argand-Diagramm einen Vektor bilden, der die komplexe Ebene darstellt.
Schlussfolgerung
Wenn man zur Mathematik komplexe Zahlen hinzufügt, hat jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten Wurzeln, die komplexe Zahlen sind. Die erfolgreiche Hinzufügung der komplexen Zahlen zur Mathematik hat auch dazu beigetragen, einen Weg zur Schaffung einer anderen Art von Zahlen zu eröffnen, die viele verschiedene Probleme lösen und erklären können, zum Beispiel die: hyperkomplexen Zahlen, Sedenion, hyperrealen Zahlen, surrealen Zahlen und viele andere. Siehe Arten von Zahlen.
Fragen und Antworten
F: Was ist eine komplexe Zahl?
A: Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, die aus zwei Teilen besteht, wobei der erste Teil eine reelle Zahl und der zweite Teil eine imaginäre Zahl ist.
F: Was ist die wichtigste imaginäre Zahl?
A: Die wichtigste imaginäre Zahl heißt i. Sie ist definiert als eine Zahl, die zum Quadrat -1 wird.
F: Wie werden arithmetische Funktionen mit komplexen Zahlen verwendet?
A: Arithmetische Funktionen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division können mit komplexen Zahlen verwendet werden. Sie folgen ebenfalls den Eigenschaften der Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivfunktion, genau wie reelle Zahlen.
F: Welches Symbol steht für die Menge der komplexen Zahlen?
A: Die Menge der komplexen Zahlen wird oft mit dem Symbol C dargestellt.
F: Warum wurden die komplexen Zahlen entdeckt?
A: Komplexe Zahlen wurden entdeckt, als man versuchte, spezielle Gleichungen zu lösen, die Exponenten enthalten, weil sie die Mathematiker vor echte Probleme stellten.
F: Wer führte die Schreibweise i für diese Art von Zahlen ein?
A: Es war wahrscheinlich Leonhard Euler, der die Schreibweise i für diese Art von Zahlen einführte.
F: Wie kann eine komplexe Zahl als geordnetes Paar geschrieben werden?
A: Eine komplexe Zahl kann als geordnetes Paar (a, b) geschrieben werden, wobei sowohl a als auch b reelle Zahlen sind.
