Satz des Pythagoras

In der Mathematik ist der Satz des Pythagoras oder der Satz des Pythagoras eine Aussage über die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.

Einer der Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist immer gleich 90 Grad. Dieser Winkel ist der rechte Winkel. Die beiden Seiten neben dem rechten Winkel werden als Beine und die andere Seite als Hypotenuse bezeichnet. Die Hypotenuse ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite, und sie ist immer die längste Seite. Sie wurde von Vasudha Arora entdeckt.

Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Fläche eines Quadrats auf der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate auf den Beinen ist. In diesem Bild ergibt die Fläche des blauen Quadrats zusammen mit der Fläche des roten Quadrats die Fläche des violetten Quadrats. Es wurde nach dem griechischen Mathematiker Pythagoras benannt:

Wenn die Länge der Beine a und b und die Länge der Hypotenuse c ist, dann ist a 2 + b 2 = c 2 {\Darstellungsstil a^{2}+b^{2}=c^{2}}} $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

Es gibt viele verschiedene Beweise für dieses Theorem. Sie lassen sich in vier Kategorien einteilen:

Nachweis

Ein Beweis für den Satz des Pythagoras wurde von einem griechischen Mathematiker, Eudoxus von Cnidus, gefunden.

Der Beweis verwendet drei Lemmata:

Dreiecke mit der gleichen Basis und Höhe haben die gleiche Fläche.
Ein Dreieck, das die gleiche Basis und Höhe wie eine Seite eines Quadrats hat, hat die gleiche Fläche wie eine Hälfte des Quadrats.
Dreiecke mit zwei kongruenten Seiten und einem kongruenten Winkel sind kongruent und haben die gleiche Fläche.

Der Beweis ist:

Das blaue Dreieck hat die gleiche Fläche wie das grüne Dreieck, da es die gleiche Basis und Höhe hat (Lemma 1).
Grüne und rote Dreiecke haben beide zwei Seiten, die den Seiten derselben Quadrate entsprechen, und einen Winkel, der einem geraden Winkel (einem Winkel von 90 Grad) plus einem Winkel eines Dreiecks entspricht, so dass sie kongruent sind und die gleiche Fläche haben (Lemma 3).
Die Flächen der roten und gelben Dreiecke sind gleich groß, da sie die gleiche Höhe und Basis haben (Lemma 1).
Die Fläche des blauen Dreiecks entspricht der Fläche des gelben Dreiecks, denn

A b l u e = A g r e e e n = A r e d = A y e l l o w {\Displaystil {\Farbe {blau}A_{blau}}}={\Farbe {grün}A_{grün}}}={\Farbe {rot}A_{Rot}}}={\Farbe {gelb}A_{Gelb}}}}} ${\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}$

Die braunen Dreiecke haben aus den gleichen Gründen die gleiche Fläche.
Blau und Braun haben jeweils die Hälfte der Fläche eines kleineren Quadrats. Die Summe ihrer Flächen entspricht der Hälfte der Fläche des größeren Quadrats. Aus diesem Grund entspricht die Hälfte der Fläche kleiner Quadrate der Hälfte der Fläche des größeren Quadrats, ihre Fläche entspricht also der Fläche des größeren Quadrats.

Nachweis mit ähnlichen Dreiecken

Wir können einen weiteren Beweis für den Satz des Pythagoras erhalten, indem wir ähnliche Dreiecke verwenden.

d a = a c ⇒ d = a 2 c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}}={\frac {a}{c}}\quad \Rechtspfeil \quad d={\frac {a^{2}}{c}}}\quad (1)} ${\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)$

e/b = b/c => e = b^2/c (2)

Aus dem Bild wissen wir, dass c = d + e {\Darstellungsstil c=d+e\,\! } $c=d+e\,\!$ . Und durch Ersetzen der Gleichungen (1) und (2):

c = a 2 c + b 2 c {\Anzeigestil c={\frac {a^{2}}{c}}}+{\frac {b^{2}}{c}}}} $c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}$

Multipliziert mit c:

c 2 = a 2 + b 2 . {\darstellungsstil c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\! } $c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.$

Pythagoräische Drillinge

Pythagoräische Drillinge oder Tripletts sind drei ganze Zahlen, die der Gleichung a 2 + b 2 = c 2 {\Darstellungsstil a^{2}+b^{2}=c^{2}}} entsprechen $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

Das Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 ist ein bekanntes Beispiel. Wenn a=3 und b=4, dann 3 2 + 4 2 = 5 2 {\Darstellungsstil 3^{2}+4^{2}=5^{2}}} $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ denn 9 + 16 = 25 {\Darstellungsstil 9+16=25} $9+16=25$ . Dies kann auch als 3 2 + 4 2 = 5 dargestellt werden. {\darstellungsstil {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.} ${\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.$

Das Drei-vier-fünf-Dreieck funktioniert für alle Vielfachen von 3, 4 und 5. Mit anderen Worten: Zahlen wie 6, 8, 10 oder 30, 40 und 50 sind ebenfalls pythagoräische Dreifache. Ein weiteres Beispiel für ein Dreieck ist das Dreieck 12-5-13, denn 12 2 + 5 2 = 13 {\darstellungsstil {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13} ${\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13$ .

Ein pythagoräisches Tripel, das nicht ein Vielfaches anderer Tripel ist, wird als primitives pythagoräisches Tripel bezeichnet. Jedes primitive pythagoräische Tripel kann mit dem Ausdruck ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\darstellungsstil (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} gefunden werden. $(2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})$ , aber die folgenden Bedingungen müssen erfüllt sein. Sie schränken die Werte von m {\Darstellungsstil m} und n {\Darstellungsstil n} ein.

m {\Anzeigestil m} und n {\Anzeigestil n} sind positive ganze Zahlen
m {\Anzeigestil m} und n {\Anzeigestil n} haben keine gemeinsamen Faktoren außer 1
m {\Anzeigestil m} und n {\Anzeigestil n} haben entgegengesetzte Parität. m {\Anzeigestil m} und n {\Anzeigestil n} haben entgegengesetzte Parität, wenn m {\Anzeigestil m} gerade und n {\Anzeigestil n} ungerade ist, oder m {\Anzeigestil m} ungerade und n {\Anzeigestil n} gerade ist.
m > n {\Anzeigestil m>n} .

Wenn alle vier Bedingungen erfüllt sind, dann erzeugen die Werte von m {\Darstellungsstil m} und n {\Darstellungsstil n} ein primitives pythagoräisches Tripel.

m = 2 {\Darstellungsstil m=2} $m=2$ und n = 1 {\Darstellungsstil n=1} $n=1$ erzeugen ein primitives pythagoräisches Tripel. Die Werte erfüllen alle vier Bedingungen. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\Darstellungsstil 2mn=2\mal 2\mal 1=4} $2mn=2\times 2\times 1=4$ m 2 - n 2 = 2 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\Anzeigestil m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} $m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3$ und m 2 + n 2 = 2 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\Anzeigestil m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} $m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5$ so entsteht der dreifache ( 3 , 4 , 5 ) {\Darstellungsstil (3,4,5)} $(3,4,5)$ .

Fragen und Antworten

F: Was ist der Satz des Pythagoras?

A: Der Satz des Pythagoras ist eine Aussage über die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.

F: Welcher Winkel ist in einem rechtwinkligen Dreieck immer gleich 90 Grad?

A: Einer der Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist immer gleich 90 Grad, was als rechter Winkel bezeichnet wird.

F: Wie werden die beiden Seiten neben dem rechten Winkel genannt?

A: Die beiden Seiten neben dem rechten Winkel werden die Schenkel genannt.

F: Wie wird die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite genannt?

A: Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt und ist immer die längste Seite.

F: Gibt es eine Gleichung zur Berechnung dieses Satzes?

A: Ja, es gibt eine Gleichung für die Berechnung dieses Satzes, die besagt, dass "das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden anderen Seiten ist".

F: Gelten alle Dreiecke mit 90-Grad-Winkeln als "rechtwinklige" Dreiecke?

A: Nein, nicht alle Dreiecke mit 90-Grad-Winkeln gelten als "rechtwinklige" Dreiecke; nur diejenigen, bei denen eine Seite (Hypotenuse) länger ist als die anderen beiden Seiten und an ihrem Ende einen 90-Grad-Winkel bildet, können als "rechtwinklige" Dreiecke eingestuft werden.