Imaginäre Zahl
Imaginäre Zahlen sind Zahlen, die aus der Kombination einer reellen Zahl mit der imaginären Einheit, genannt i, gebildet werden, wobei i definiert ist als i 2 = - 1 {\darstellungsstil i^{2}=-1}
. Sie werden getrennt von den negativen reellen Zahlen dadurch definiert, dass sie eine Quadratwurzel einer negativen reellen Zahl anstelle einer positiven reellen Zahl sind. Dies ist bei reellen Zahlen nicht möglich, da es keine reelle Zahl gibt, die sich mit sich selbst multipliziert, um eine negative Zahl zu erhalten (z.B. 3*3 = 9 und -3*-3 = 9).
Eine Möglichkeit, über sie nachzudenken, besteht darin, zu sagen, dass imaginäre Zahlen für negative Zahlen das sind, was negative Zahlen für positive Zahlen sind. Wenn ich sage: "Gehe östlich um -1 Meile", ist es dasselbe, als hätte ich gesagt: "Gehe westlich um 1 Meile". Wenn ich sage: "Gehe östlich um 1 Meile", dann bedeutet das dasselbe, als hätte ich gesagt: "Gehe nördlich um 1 Meile". Wenn ich sage: "Gehe östlich um -i Meile", dann bedeutet das dasselbe, als hätte ich gesagt: "Gehe südlich um 1 Meile".
Auch das Hinzufügen ist einfach. Wenn ich sage "Gehe 1 + i Meilen nach Osten", bedeutet das dasselbe, als hätte ich gesagt "Gehe eine Meile nach Osten und eine Meile nach Norden".
Die Multiplikation zweier imaginärer Zahlen ist in etwa so wie die Multiplikation einer positiven Zahl mit einer negativen Zahl. Wenn ich sage "gehen Sie nach Osten mit 2*-3 Meilen", bedeutet das "drehen Sie sich ganz herum (so dass Sie jetzt nach Westen schauen) und gehen Sie 2*3 = 6 Meilen". Imaginäre Zahlen funktionieren genauso, außer dass man sich teilweise drehen kann. Wenn ich sage: "Gehen Sie nach Osten um 2*3i Meilen", bedeutet das dasselbe, als hätte ich gesagt: "Drehen Sie, bis Sie nach Norden blicken, und gehen Sie dann 2*3 = 6 Meilen".
5 - 9 zu subtrahieren war früher unmöglich, bis negative Zahlen erfunden wurden. Danach war es unmöglich, die Quadratwurzel einer negativen Zahl zu ziehen, bis imaginäre Zahlen erfunden wurden. Die Quadratwurzel von 9 ist 3, aber die Quadratwurzel von -9 ist nicht -3, weil -3 x -3 = +9, nicht -9. Lange Zeit schien es, als gäbe es keine Antwort auf die Quadratwurzel von -9.
Aus diesem Grund haben Mathematiker die imaginäre Zahl i erfunden und gesagt, dass sie die Quadratwurzel aus -1 ist. Die Quadratwurzel von -1 ist keine reelle Zahl, daher schafft diese Definition eine neue Art von Zahl, so wie Brüche Zahlen wie 2/3 erzeugen, die keine Zahlen wie 4 oder 10 zählen, und negative Zahlen uns Zahlen kleiner als 0 haben lassen. Manchmal scheinen sich Mathematiker mit einer so ungewöhnlichen Zahl recht wohl zu fühlen, aber der Name imaginär sollte Sie nicht täuschen, denn i ist eine so gültige Zahl wie 3 oder 145.379.
Viele Zweige der Wissenschaft und Technik haben für diese Zahl Verwendung gefunden. Manchmal benötigen Elektroingenieure i, um zu verstehen, wie eine elektrische Schaltung funktioniert, wenn sie sie entwerfen (Elektroingenieure verwenden j anstelle von i, um Verwechslungen mit dem Symbol für den Strom zu vermeiden). Bestimmte Zweige der Physik wie die Quantenphysik und die Hochenergiephysik verwenden i so oft wie jede andere reguläre Zahl. Viele Gleichungen in der Welt können einfach nicht ohne i gelöst werden.
Imaginäre Zahlen können mit Zahlen vermischt werden, die uns vertrauter sind. Zum Beispiel kann eine reelle Zahl wie 2 zu einer imaginären Zahl wie 3i addiert werden, um 2+3i zu erzeugen. Diese Art von gemischten Zahlen werden als komplexe Zahlen bezeichnet.
Fragen und Antworten
F: Was ist eine imaginäre Zahl?
A: Eine imaginäre Zahl ist eine Kombination aus einer reellen Zahl und der imaginären Einheit i, wobei i als i^2=-1 definiert ist.
F: Wie unterscheiden sich imaginäre Zahlen von negativen reellen Zahlen?
A: Imaginäre Zahlen sind anders definiert als negative reelle Zahlen, da sie die Quadratwurzel einer negativen reellen Zahl sind (statt einer positiven reellen Zahl). Dies ist bei reellen Zahlen nicht möglich, da es keine reelle Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert werden kann, um eine negative Zahl zu erhalten.
F: Was bedeutet es, wenn wir sagen: "Gehe nach Osten um -i Meile"?
A: Wenn wir sagen "Gehe nach Osten um -i Meile", bedeutet das dasselbe, als wenn wir sagen würden "Gehe nach Süden um 1 Meile".
F: Wie kann man zwei imaginäre Zahlen addieren?
A: Um zwei imaginäre Zahlen zu addieren, können Sie sagen: "Gehen Sie eine Meile nach Osten und eine Meile nach Norden". Die Multiplikation zweier imaginärer Zahlen ist ähnlich wie die Multiplikation einer positiven Zahl mit einer negativen Zahl.
F: Was sind komplexe Zahlen?
A: Komplexe Zahlen sind gemischte Zahlen, die sowohl aus realen als auch aus imaginären Komponenten bestehen, wie z.B. 2+3i. Sie entstehen, wenn Sie eine reelle und eine imaginäre Komponente zusammenzählen.
F: In welchen Bereichen verwenden Mathematiker das Konzept der imaginären Einheit?
A: Mathematiker verwenden das Konzept der imaginären Einheit in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik, z.B. in der Elektrotechnik, Quantenphysik, Hochenergiephysik usw. Es wird auch in Gleichungen verwendet, die ohne es nicht gelöst werden können.
