Imaginäre Zahlen entstehen durch die Kombination einer reellen Zahl mit der imaginären Einheit, bezeichnet mit i. Die Einheit ist durch die Beziehung i 2 = - 1 {\darstellungsstil i^{2}=-1}{\displaystyle i^{2}=-1} definiert. Daraus folgen alle Eigenschaften imaginärer Zahlen: zum Beispiel ist die Quadratwurzel einer negativen reellen Zahl (wie √−9) keine reelle Zahl, sondern eine Vielfache von i (hier 3i). Imaginäre Zahlen sind daher keine „falschen“ oder nicht existierenden Zahlen, sondern eine Erweiterung des Zahlbegriffs – ähnlich wie Brüche oder negative Zahlen – die es erlaubt, Gleichungen zu lösen, die mit reellen Zahlen allein keine Lösung haben.

Geometrische Deutung

Man kann imaginäre Zahlen gut als Punkte oder Vektoren in der zweidimensionalen Ebene auffassen: Die horizontale Achse ist die reelle Achse, die vertikale Achse die imaginäre Achse. Eine Zahl der Form a + bi entspricht dem Punkt (a, b). Die rein imaginären Zahlen haben die Form 0 + bi und liegen auf der imaginären Achse.

Multiplikation mit i entspricht einer Drehung um +90° (gegen den Uhrzeigersinn) im komplexen Ebenenmodell. Allgemeiner wirken Multiplikationen mit komplexen Zahlen als Kombination aus Drehung und Streckung.

Grundrechenarten

Addition / Subtraktion: Werden komponentenweise ausgeführt:

  • (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Multiplikation: Analog zum Ausmultiplizieren mit der Regel i2 = −1:

  • (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Beispiel: (1 + 2i)(3 − 4i) = 11 + 2i.

Division: Divisionen werden durch Multiplikation mit dem komplex konjugierten Nenner möglich gemacht:

  • Für z = a + bi ist das konjugierte z̄ = a − bi.
  • (1 + i)/(1 − i) = ((1 + i)(1 + i))/((1 − i)(1 + i)) = i.

Wichtige Begriffe

Reelle und imaginäre Teile: Für z = a + bi nennt man a den reellen Teil und b den imaginären Teil.

Konjugation: Das konjugierte z̄ = a − bi spiegelt den Punkt an der reellen Achse und wird bei Divisionen und bei der Berechnung des Betrags benutzt.

Betrag (Modul): |z| = √(a² + b²) ist die Entfernung des Punktes (a, b) vom Ursprung.

Potenzen von i: Sie wiederholen sich periodisch:

  • i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, …

Komplexe Zahlen und Polardarstellung

Zahlen der Form a + bi heißen komplexe Zahlen. Man kann sie auch in der Polardarstellung schreiben: z = r·eiθ = r(cos θ + i sin θ), wobei r = |z| und θ der Winkel zur reellen Achse ist. Diese Form ist besonders nützlich, wenn man Drehungen und Skalierungen betrachtet: Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen addiert ihre Winkel und multipliziert ihre Beträge.

Beispiele

√(−9) = 3i. Das liegt daran, dass (3i)² = 9i² = 9·(−1) = −9.

Multiplikation: (1 + 2i)(3 − 4i) = 3 − 4i + 6i − 8i² = 3 + 2i + 8 = 11 + 2i.

Division: (1 + i)/(1 − i) = i (siehe oben).

Anwendungen

Imaginäre und komplexe Zahlen sind nicht nur „theoretische“ Objekte, sie treten in vielen Bereichen praktisch auf:

  • In der Elektrotechnik (Wechselstromtechnik) werden komplexe Zahlen zur Beschreibung von Spannungen und Strömen verwendet — Ingenieure schreiben j statt i, um Verwechslungen mit Stromstärke-Symbolen zu vermeiden.
  • Signalverarbeitung und Fourier-Analyse nutzen komplexe Exponentialfunktionen zur Darstellung und Auswertung von zeitabhängigen Signalen.
  • In der Quantenphysik und anderen Bereichen der Physik treten komplexe Wellenfunktionen auf; die Quantenphysik arbeitet regelmäßig mit i.
  • In der Regelungstechnik, Schwingungslehre und in vielen Differentialgleichungen vereinfachen komplexe Zahlen die Lösung und Darstellung von Ergebnissen.
  • Die Mathematik selbst profitiert: Das Feld der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen (Fundamentalsatz der Algebra), das heißt, jede nichtkonstante Polynomgleichung hat in den komplexen Zahlen eine Lösung.

Praxis-Tipp

Wenn Sie mit komplexen Zahlen rechnen, merken Sie sich drei einfache Werkzeuge: komponentenweise Addieren/Subtrahieren, Ausmultiplizieren mit i2=−1 beim Multiplizieren und Konjugation beim Dividieren. Damit lassen sich alle grundlegenden Probleme lösen.

Im Alltag sind imaginäre Zahlen also keineswegs „nur“ imaginär – sie erweitern unser Zahlensystem und sind in Naturwissenschaft und Technik unverzichtbar. Die gemischten Zahlen aus reellen und imaginären Teilen heißen auch komplexe Zahlen.