Imaginäre Einheit

In der Mathematik sind imaginäre Einheiten, oder i, Zahlen, die durch Gleichungen dargestellt werden können, sich aber auf Werte beziehen, die im wirklichen Leben physikalisch nicht existieren könnten. Die mathematische Definition einer imaginären Einheit lautet i = - 1 {\darstellungsstil i={\sqrt {-1}}} $i={\sqrt {-1}}$ die die Eigenschaft i × i = i 2 = - 1 {\darstellungsstil i\mal i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ hat.

Der Grund für die Erstellung von i war die Beantwortung einer Polynomgleichung, x 2 + 1 = 0 {\darstellungsstil x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ die normalerweise keine Lösung hat, da der Wert von x 2 {\Darstellungsstil x^{2}} $x^{2}$ gleich -1 sein müsste. Obwohl das Problem lösbar ist, könnte die Quadratwurzel aus -1 im wirklichen Leben nicht durch eine physikalische Menge irgendwelcher Objekte dargestellt werden.

Quadratwurzel aus i

Es wird manchmal angenommen, dass man eine weitere Zahl erstellen muss, um die Quadratwurzel von i darzustellen, aber das ist nicht nötig. Die Quadratwurzel von i kann wie folgt geschrieben werden: i = ± 2 2 2 ( 1 + i ) {\darstellungsstil {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}(1+i)} ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ .
Dies kann wie folgt dargestellt werden:

( ± 2 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\Anzeigestil \links(\pm {\frac {\sqrt {2}}}{2}}(1+i)\rechts)^{2}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\darstellungsstil =\links(\pm {\frac {\sqrt {2}}}{2}}}\rechts)^{2}(1+i)^{2}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle = (\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\Anzeigestil =1\mal {\frac {1}{2}}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {\frac {1}{2}}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\darstellungsstil =i\ } $=i\$

Befugnisse von i

Die Kräfte von i folgen einem vorhersehbaren Muster:

i - 3 = i {\darstellungsstil i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\Anzeige-Stil i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\darstellungsstil i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\Anzeigestil i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\Anzeigestil i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\Anzeige-Stil i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\darstellungsstil i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\Anzeigestil i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\Anzeigestil i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\Anzeige-Stil i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

Dies kann mit dem folgenden Muster gezeigt werden, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist:

i 4 n = 1 {\Anzeigestil i^{4n}=1} $i^{4n}=1$

i 4 n + 1 = i {\Anzeigestil i^{4n+1}=i} $i^{4n+1}=i$

i 4 n + 2 = - 1 {\Anzeigestil i^{4n+2}=-1} $i^{4n+2}=-1$

i 4 n + 3 = - i {\Anzeigestil i^{4n+3}=-i} $i^{4n+3}=-i$

Fragen und Antworten

F: Was ist die imaginäre Einheit?

A: Die imaginäre Einheit ist ein Zahlenwert, der nur außerhalb der reellen Zahlen existiert und in der Algebra verwendet wird.

F: Wie verwenden wir die imaginäre Einheit?

A: Wir multiplizieren die imaginäre Einheit mit einer reellen Zahl, um eine imaginäre Zahl zu erhalten.

F: Wofür werden imaginäre Zahlen verwendet?

A: Imaginäre Zahlen können zur Lösung vieler mathematischer Probleme verwendet werden.

F: Können wir eine imaginäre Zahl mit realen Objekten darstellen?

A: Nein, wir können eine imaginäre Zahl nicht mit realen Objekten darstellen.

F: Woher kommt die imaginäre Einheit?

A: Die imaginäre Einheit stammt aus der Mathematik und der Algebra.

F: Ist die imaginäre Einheit Teil der reellen Zahlen?

A: Nein, sie existiert außerhalb des Bereichs der reellen Zahlen.

F: Wie berechnet man eine imaginäre Zahl? A: Sie berechnen eine imaginäre Zahl, indem Sie eine reelle Zahl mit der imaginären Einheit multiplizieren.