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Division durch Null: 0/0 und A/0 erklärt – unbestimmt & undefiniert

Division durch Null verständlich erklärt: Unterschied 0/0 (unbestimmt) vs. A/0 (undefiniert), Ursachen, Folgen und anschauliche Beispiele.

Autor: Leandro Alegsa Erstellungsdatum: 3. November 2020 Letzte Aktualisierung: 7. April 2026

en.wikipedia.org · CC BY-SA 4.0

In der Mathematik kann eine Zahl nicht durch Null geteilt werden. Beachten Sie:

1. A ∗ B = C {\Anzeigestil A*B=C} $A*B=C$

Wenn B = 0, dann ist C = 0. Dies ist richtig. Aber:

2. A = C / B {\Anzeigestil A=C/B} $A=C/B$

(wobei B=0, wir haben also einfach durch Null geteilt)

Was dasselbe ist wie:

3. A = 0 / 0 {\Anzeigestil A=0/0} $A=0/0$

Warum ist Division durch Null nicht zulässig?

Die grundlegende Ursache ist, dass Multiplikation mit 0 Informationsverlust verursacht: Wenn B=0, dann wird bei A⋅B immer 0 herauskommen, ganz gleich, welchen Wert A hatte. Man kann aus A⋅0 = C (mit C=0) nicht mehr auf A zurückschließen – die Zuordnung ist nicht umkehrbar. Daher ist der Schritt "auf beiden Seiten durch 0 teilen" nicht erlaubt.

Unterschied: undefiniert vs. unbestimmt

Man unterscheidet zwei Fälle:

A/0 mit A ≠ 0: Solche Ausdrücke sind in der gewöhnlichen Arithmetik undefiniert. Es gibt keine reelle Zahl, die man sinnvoll als Ergebnis angeben kann. In Grenzwertbetrachtungen läuft der Wert oft gegen ±∞ (je nach Vorzeichen), doch ±∞ sind keine reellen Zahlen, sondern Konzepte.
0/0: Dies ist eine sogenannte unbestimmte Form. In Grenzwertproblemen kann 0/0 zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, je nachdem, wie Zähler und Nenner gegen 0 gehen. Deshalb lässt sich kein eindeutiger Wert zuordnen.

Beispiele und Erläuterungen

1/0: kein sinnvolles Ergebnis (undefiniert). In der Analysis gilt lim_{x→0+} 1/x = +∞ und lim_{x→0−} 1/x = −∞ — die einseitigen Grenzwerte unterscheiden sich.
0/0: unbestimmt. Beispiel mit Grenzwerten:
- lim_{x→0} x/x = 1
- lim_{x→0} x^2/x = 0
- lim_{x→0} (sin x)/x = 1
Je nach Funktion kann der Grenzwert also 0, 1 oder ein anderer Wert sein — deshalb spricht man von einer unbestimmten Form.
Algebraisch: Wenn a·b = a·c und a ≠ 0, dann folgt b = c. Ist a = 0, darf nicht gekürzt werden — sonst erhält man falsche Schlüsse.

Was ist mit Unendlichkeit?

Häufig wird gesagt, A/0 führe zu "Unendlichkeit". Wichtig ist: die Unendlichkeit (∞) ist in den reellen Zahlen keine Zahl. In manchen erweiterten Zahlbereichen (z. B. die erweiterte reelle Zahlengerade) führt man ±∞ als Symbole ein, aber die üblichen Rechenregeln gelten dort nicht vollständig. Deshalb bleibt die Division durch 0 in der normalen Arithmetik undefiniert.

Praktische Hinweise

In der Analysis behandelt man Fälle wie 0/0 mit Grenzwerten und Techniken wie Faktorisieren oder der Regel von L'Hôpital, um zu klären, ob ein Grenzwert existiert und welchen Wert er hat.
In der Algebra definiert man Division nur in Strukturen, in denen der Divisor invertierbar ist (z. B. Körper). In einem Körper hat nur die Zahl 0 keine Inverse — deshalb ist Division durch 0 nicht definiert.
In der Computerarithmetik (IEEE-Gleitkommazahlen) ergeben Operationen mit 0 unterschiedliche Ergebnisse: z. B. 1.0/0.0 ergibt +Inf, −1.0/0.0 ergibt −Inf und 0.0/0.0 ergibt NaN ("not a number"). Diese Sonderwerte haben spezielle Regeln und zeigen, dass man in Programmen mit Division durch 0 vorsichtig sein muss.

Fazit

Division durch 0 ist in der üblichen Mathematik nicht erlaubt: Für einen von Null verschiedenen Zähler ist A/0 undefiniert, weil kein reeller Wert passt; der Ausdruck 0/0 ist eine unbestimmte Form, weil er in Grenzwertbetrachtungen verschiedene Ergebnisse zulassen kann. In praktischen Problemen löst man solche Fälle durch Umformungen, Grenzwertbetrachtungen oder durch die Verwendung geeigneter mathematischer Strukturen.

Falsche Proofs basierend auf Division durch Null

Es ist möglich, einen speziellen Fall der Division durch Null in einem algebraischen Argument zu verschleiern. Dies kann zu ungültigen Beweisen führen, wie z.B. 1=2, wie im Folgenden beschrieben:

Mit den folgenden Annahmen:

0 × 1 = 0 0 0 × 2 = 0. {\Anzeigestil {\Beginn{Ausrichtung}0\ mal 1&=0\\\0\ mal 2&=0.\Ende{Ausrichtung}}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Folgendes muss wahr sein:

0 × 1 = 0 × 2. {\Anzeigestil 0\mal 1=0\mal 2.\,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Dividieren durch Null ergibt:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\Anzeigestil \Textstyle {\frac {0}{0}}}\mal 1={\frac {0}{0}}\mal 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Vereinfachen:

1 = 2. {\Anzeigestil 1=2.\,} $1=2.\,$

Der Trugschluss ist die Annahme, dass die Division durch 0 eine legitime Operation mit 0/0 = 1 ist.

Die meisten Menschen würden den obigen "Beweis" wahrscheinlich als falsch anerkennen, aber dasselbe Argument kann in einer Weise vorgebracht werden, die es schwieriger macht, den Fehler zu erkennen. Wenn zum Beispiel 1 als x geschrieben wird, dann kann 0 hinter x-x und 2 hinter x+x versteckt sein. Der oben erwähnte Beweis kann dann wie folgt dargestellt werden:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\Anzeigeart {\Beginn{Ausrichtung}(x-x)x=0\\\(x-x)(x+x)=0\Ende{Ausrichtung}}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

deshalb:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\Anzeigestil (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Dividieren durch x - x ergibt:

x = x + x {\Anzeigestil x=x+x\,} $x=x+x\,$

und die Division durch x ergibt:

1 = 2. {\Anzeigestil 1=2.\,} $1=2.\,$

Der obige "Beweis" ist falsch, weil er durch Null dividiert wird, wenn er durch x-x dividiert wird, weil jede Zahl minus selbst Null ist.

Kalkül

Im Kalkül ergeben sich die oben genannten "unbestimmten Formen" auch durch direkte Substitution bei der Bewertung von Grenzen.

Division durch Null in Computern

Wenn ein Computerprogramm versucht, eine ganze Zahl durch Null zu teilen, wird das Betriebssystem dies normalerweise erkennen und das Programm stoppen. Gewöhnlich wird es eine "Fehlermeldung" ausgeben oder dem Programmierer Ratschläge zur Verbesserung des Programms geben^[]. Die Division durch Null ist ein häufiger Fehler in der Computerprogrammierung. Das Dividieren von Gleitkommazahlen (Dezimalzahlen) durch Null ergibt normalerweise entweder unendlich oder einen speziellen NaN-Wert (keine Zahl), je nachdem, was durch Null dividiert wird.

Division durch Null in der Geometrie

In der Geometrie 1 0 = ∞ . {\Anzeige-Stil \Text-Stil {\frac {1}{0}}}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Diese Unendlichkeit (projektive Unendlichkeit) ist weder eine positive noch eine negative Zahl, so wie die Null weder eine positive noch eine negative Zahl ist.

Fragen und Antworten

F: Was ist das Ergebnis der Division einer Zahl durch Null?

A: Die Division einer Zahl durch Null ergibt eine "undefinierte" oder "unbestimmte Form", was bedeutet, dass sie keinen einzigen Wert hat.

F: Was bedeutet 0/0?

A: 0/0 wird als "unbestimmte Form" bezeichnet, weil sie keinen einzigen Wert hat.

F: Was passiert, wenn zwei Zahlen demselben Wert entsprechen, dieser Wert aber 0/0 ist?

A: Die normalen Regeln der Mathematik funktionieren nicht, wenn die Zahl durch Null geteilt wird, also wären die beiden Zahlen nicht gleich.

F: Stimmt es, dass jeder Versuch, eine Zahl der Form A/0 zu definieren, zu einem Wert von unendlich führt?

A: Ja, jeder Versuch, eine Zahl der Form A/0 zu definieren (wobei A nicht 0 ist), führt zu einem Wert von unendlich, der selbst undefiniert ist.

F: Wie können wir feststellen, ob zwei Zahlen gleich sind?

A: Wir können feststellen, ob zwei Zahlen gleich sind, indem wir prüfen, ob sie beide demselben Wert entsprechen. Normalerweise funktioniert das, aber nicht, wenn beide Zahlen gleich 0/0 sind.

F: Gibt es eine Ausnahme, wenn wir eine Zahl nicht durch Null dividieren können? A: Ja, in der Mathematik ist es nicht möglich, eine Zahl durch Null zu teilen.

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Letzte Aktualisierung: 7. April 2026

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