In der Algebra gibt es einige wenige Regeln, die zum weiteren Verständnis von Gleichungen verwendet werden können. Diese werden als Regeln der Algebra bezeichnet. Obwohl diese Regeln sinnlos oder offensichtlich erscheinen mögen, ist es klug zu verstehen, dass diese Eigenschaften nicht in allen Zweigen der Mathematik gelten. Daher wird es nützlich sein, zu wissen, wie diese axiomatischen Regeln erklärt werden, bevor man sie als selbstverständlich betrachtet. Bevor Sie zu den Regeln übergehen, sollten Sie über zwei Definitionen nachdenken, die gegeben werden.
- Umgekehrt - das Gegenteil eines {\Darstellungsstils a}
ist - ein {\Darstellungsstil -a} 
. - Reziprok - der Kehrwert eines {\Anzeigestils a} ist 1 a {\Anzeigestil {\frac {1}{a}}}
.
Regeln
Kommutative Eigenschaft der Addition
'Kommutativ' bedeutet, dass eine Funktion das gleiche Ergebnis hat, wenn die Zahlen vertauscht werden. Mit anderen Worten, die Reihenfolge der Terme in einer Gleichung spielt keine Rolle. Wenn der Operator zweier Terme eine Addition ist, ist die "kommutative Eigenschaft der Addition" anwendbar. In algebraischer Ausdrucksweise ergibt dies a + b = b + a {\Darstellungsstil a+b=b+a}
.
Beachten Sie, dass dies nicht für die Subtraktion gilt! (d.h. a - b ≠ b - a {\darstellungsstil a-b\neq b-a}
)
Kommutative Eigenschaft der Multiplikation
Wenn der Operator von zwei Termen eine Multiplikation ist, ist die "kommutative Eigenschaft der Multiplikation" anwendbar. Algebraisch ausgedrückt ergibt dies a ⋅ b = b ⋅ a {\darstellungsstil a\cdot b=b\cdot a} 
.
Beachten Sie, dass dies nicht für die Teilung gilt! (d.h. a b ≠ b a {\displaystyle {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}}}} 
wenn a ≠ b {\Anzeigestil a\neq b} 
)
Assoziative Eigenschaft der Addition
'Assoziativ' bezieht sich auf die Gruppierung von Zahlen. Die assoziative Eigenschaft der Addition impliziert, dass es bei der Addition von drei oder mehr Begriffen keine Rolle spielt, wie diese Begriffe gruppiert sind. Algebraisch ergibt dies a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\darstellungsstil a+(b+c)=(a+b)+c}
. Beachten Sie, dass dies nicht für die Subtraktion gilt, z.B. 1 = 0 - ( 0 - 1 ) ≠ ( 0 - 0 ) - 1 = - 1 {\displaystyle 1=0-(0-1)\neq (0-0)-1=-1}
(siehe die distributive Eigenschaft).
Assoziative Eigenschaft der Multiplikation
Die assoziative Eigenschaft der Multiplikation impliziert, dass es bei der Multiplikation von drei oder mehr Begriffen keine Rolle spielt, wie diese Begriffe gruppiert sind. Algebraisch ergibt dies a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c {\darstellungsstil a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}
. Beachten Sie, dass dies nicht für die Teilung gilt, z.B. 2 = 1 / ( 1 / 2 ) ≠ ( 1 / 1 ) / 2 = 1 / 2 {\displaystyle 2=1/(1/2)\neq (1/1)/2=1/2}
.
Distributive Eigenschaft
Die Verteilungseigenschaft besagt, dass die Multiplikation einer Zahl mit einem anderen Term verteilt werden kann. Zum Beispiel: a ⋅ ( b + c ) = a b + a c {\darstellungsstil a\cdot (b+c)=ab+ac}
. (Verwechseln Sie dies nicht mit den assoziativen Eigenschaften! Zum Beispiel: a ⋅ ( b + c ) ≠ ( a ⋅ b ) + c {\darstellungsstil a\cdot (b+c)\neq (a\cdot b)+c}
.)
Additive Identitätseigenschaft
Identität" bezieht sich auf die Eigenschaft einer Zahl, dass sie mit sich selbst gleich ist. Mit anderen Worten, es gibt eine Operation von zwei Zahlen, so dass sie gleich der Variablen der Summe ist. Die additive Identitätseigenschaft besagt, dass die Summe aus einer beliebigen Zahl und 0 diese Zahl ist: a + 0 = eine {\Darstellungsart a+0=a}
. Dies gilt auch für die Subtraktion: a - 0 = ein {\Darstellungsstil a-0=a}
.
Eigenschaft der multiplikativen Identität
Die Eigenschaft der multiplikativen Identität besagt, dass das Produkt aus einer beliebigen Zahl und 1 diese Zahl ist: a ⋅ 1 = a {\displaystyle a\cdot 1=a}
. Dies gilt auch für die Division: a 1 = ein {\Darstellungsstil {\frac {a}{1}}}=a}
.
Additive inverse Eigenschaft
Die additive Umkehreigenschaft ist so etwas wie das Gegenteil der additiven Identitätseigenschaft. Wenn eine Operation die Summe aus einer Zahl und ihrem Gegenteil ist und gleich 0 ist, ist diese Operation eine gültige algebraische Operation. Algebraisch besagt sie folgendes: a - a = 0 {\darstellungsstil a-a=0}
. Die additive Inverse von 1 ist (-1).
Multiplikative inverse Eigenschaft
Die multiplikative Umkehreigenschaft hat zur Folge, dass, wenn eine Operation das Produkt aus einer Zahl und ihrem Kehrwert ist und diese gleich 1 ist, diese Operation eine gültige algebraische Operation ist. Algebraisch besagt sie folgendes: a a = 1 {\darstellungsstil {\frac {a}{a}}}=1}
. Die multiplikative Inverse von 2 ist 1/2.
