Funktion (Mathematik): Begriff, Notation und wichtige Eigenschaften

Tabellen

Die Inputs und Outputs können in eine Tabelle wie im Bild eingegeben werden; dies ist einfach, wenn nicht zu viele Daten vorhanden sind.

Grafiken

Auf dem Bild ist zu sehen, dass sowohl 2 als auch 3 mit c gepaart wurden; dies ist in der anderen Richtung nicht erlaubt, 2 konnte nicht c und d ausgeben, jeder Eingang kann nur einen Ausgang haben. Alle der f ( x ) {\Anzeigeart f(x)} (c und d im Bild) werden üblicherweise als die Bildmenge von f {\Darstellungsstil f} bezeichnet, und die Bildmenge kann die gesamte Codomäne sein oder nicht. Man kann sagen, dass die Teilmenge A der Codomäne mit dem Bildsatz f(A) ist. Wenn die Ein- und Ausgaben eine Reihenfolge haben, ist es einfach, sie in einem Diagramm darzustellen: Auf diese Weise kommt das Bild auf das Bild der Menge A. Dies führt dazu, dass sowohl 2 als auch 3 in der anderen Richtung nicht gepaart sind, auch wenn man zwischen Codomain oder nicht machen kann. Eine Schlussfolgerung kann gezogen werden, dass Teilmenge A der Codomäne die Bildmenge F(A) ist.

In den 1690er Jahren verwendeten GottfriedLeibniz und Johann Bernoulli das Wort Funktion in Buchstaben zwischen ihnen, so dass das moderne Konzept zur gleichen Zeit wie das Kalkül begann.

Im Jahr 1748 gab Leonhard Euler: "Eine Funktion einer variablen Grösse ist ein analytischer Ausdruck, der sich in irgendeiner Weise aus der variablen Grösse und Zahlen oder konstanten Grössen zusammensetzt", und dann 1755: "Wenn einige Grössen so von anderen Grössen abhängen, dass bei Veränderung der letzteren die erstere eine Veränderung erfährt, dann werden die ersteren Grössen Funktionen der letzteren genannt. Diese Definition gilt recht weit und umfasst alle Arten, in denen eine Menge durch andere bestimmt werden könnte. Wenn also x eine variable Größe bezeichnet, dann werden alle Größen, die in irgendeiner Weise von x abhängen oder durch x bestimmt werden, Funktionen von x genannt.

In der Regel wird Dirichlet die Version zugeschrieben, die in den Schulen bis zur zweiten Hälfte des 20: "y ist eine Funktion einer Variablen x, definiert auf dem Intervall a < x < b, wenn jedem Wert der Variablen x in diesem Intervall ein bestimmter Wert der Variablen y entspricht. Auch ist es unerheblich, auf welche Weise diese Übereinstimmung hergestellt wird.

1939 verallgemeinerte der Bourbaki die Dirichlet-Definition und gab eine theoretische Version der Definition als Korrespondenz zwischen Inputs und Outputs; diese wurde ab etwa 1960 in Schulen verwendet.

Schließlich gab der Bourbaki 1970 die moderne Definition als ein Tripel f = ( X , Y , F ) {\darstellungsstil f=(X,Y,F)} , mit F ⊂ X × Y , ( x , f ( x ) ) ∈ F {\Anzeigestil F\Teilmenge X\mal Y,(x,f(x))\in F} (d.h. f : X → Y {\Anzeigestil f:X\bis Y} und F = { ( x , f ( x ) ) | x ∈ X , f ( x ) ∈ Y } {\Anzeigestil F=\{(x,f(x))|x\in X,f(x)\in Y\}} ).

• Elementare Funktionen - Die Funktionen, die üblicherweise in der Schule untersucht werden: Brüche, Quadratwurzeln, die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen und einige andere Funktionen.
• Nicht-elementare Funktionen - Die meisten von ihnen verwenden keine Operationen, die wir nicht in der Schule lernen (wie + oder -, oder Befugnisse). Viele Integrale sind nicht-elementare Funktionen.
• Inverse Funktionen - Funktionen, die eine andere Funktion rückgängig machen. Zum Beispiel: Wenn F(x) die Inverse von f(x)=y ist, dann ist F(y)=x. Nicht alle Funktionen haben Inversen.
• Besondere Funktionen: Funktionen, die Namen haben. Zum Beispiel: Sinus, Cosinus und Tangens. Funktionen wie f(x)=3x (dreimal x) werden nicht als Sonderfunktionen bezeichnet. Sie können elementar, nicht-elementar oder invers sein.