Ganzheitlich

In der Analysis ist ein Integral der Raum unter einem Graphen einer Gleichung (manchmal auch als "die Fläche unter einer Kurve" bezeichnet). Ein Integral ist das Gegenteil einer Ableitung und das Gegenteil der Differentialrechnung. Eine Ableitung ist die Steilheit (oder "Steigung") als Änderungsgeschwindigkeit einer Kurve. Das Wort "Integral" kann auch als Adjektiv verwendet werden, das "auf ganze Zahlen bezogen" bedeutet.

Das Symbol für Integration lautet in der Mathematik: ∫ {\darstellungsstil \int _{\,}^{\,}}} $\int _{\,}^{\,}$ als großer Buchstabe "S". Dieses Symbol wurde zuerst von Gottfried Wilhelm Leibniz verwendet, der es als stilisiertes "ſ" verwendete. (für summa, lateinisch für Summe) die Summierung der von einer Gleichung abgedeckten Fläche, z.B. y = f(x).

Integrale und Ableitungen gehören zu einem Zweig der Mathematik, der sich Calculus nennt. Die Verbindung zwischen diesen beiden Zweigen ist sehr wichtig und wird als Fundamentalsatz der Analysis bezeichnet. Das Theorem besagt, dass ein Integral durch eine Ableitung rückgängig gemacht werden kann, ähnlich wie eine Addition durch eine Subtraktion rückgängig gemacht werden kann.

Integration hilft beim Versuch, Einheiten in einem Problem zu multiplizieren. Wenn z.B. ein Problem mit der Rate, ( Abstandszeit ) {\darstellungsstil \links({\frac {\Text{\Entfernung}}{\Text{Zeit}}}}}rechts}} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ braucht eine Antwort mit gerechter Distanz, eine Lösung ist die Integration mit Rücksicht auf die Zeit. Das bedeutet, in der Zeit zu multiplizieren, um die Zeit in ( Entfernungszeit ) × Zeit {\Darstellungsstil \links({\frac {\Text{\Entfernung}}{\Text{Zeit}}}}rechts)\mal {\Text{Zeit}}} zu annullieren. $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Dies geschieht durch die Addition kleiner Scheiben des Ratendiagramms. Die Scheibchen sind fast null in der Breite, aber wenn man sie für immer addiert, ergeben sie ein Ganzes. Dies wird als Riemann-Summe bezeichnet.

Die Addition dieser Scheiben ergibt die Gleichung, von der die erste Gleichung die Ableitung ist. Integrale sind wie eine Möglichkeit, viele kleine Dinge von Hand zusammenzufügen. Es ist wie eine Summenbildung, bei der 1 + 2 + 3 + 4 addiert wird.... + n {\Darstellungsstil 1+2+3+4.... $1+2+3+4....+n$ . Der Unterschied zur Integration besteht darin, dass wir auch alle Dezimalstellen und Bruchteile dazwischen addieren müssen.

Eine weitere Zeitintegration ist hilfreich, wenn es darum geht, das Volumen eines Festkörpers zu finden. Sie kann zweidimensionale (ohne Breite) Scheiben des Festkörpers für immer zusammenfügen, bis es eine Breite gibt. Das bedeutet, dass das Objekt nun drei Dimensionen hat: die ursprünglichen zwei und eine Breite. Dies ergibt das Volumen des beschriebenen dreidimensionalen Objekts.

Bei der Integration geht es darum, die Oberfläche s zu finden, wenn a, b und y = f(x) gegeben sind. Die Formel für das Integral von a bis b, wie oben dargestellt, lautet
Die Formel: ∫ a b f ( x ) d x {\Darstellungsstil \int \Grenzen _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Was ist das Integral (Animation)

Methoden der Integration

Anti-Derivat

Nach dem Fundamentalsatz der Analysis ist das Integral das Antiderivat.

Wenn wir die Funktion 2 x {\Anzeigeart 2x} nehmen $2x$ zum Beispiel, und um es zu antidifferenzieren, können wir sagen, dass ein Integral von 2 x {\darstellungsstil 2x} x 2 {\darstellungsstil x^{2}} $2x$ ist $x^{2}$ . Wir sagen ein Integral, nicht das Integral, weil das Antiderivat einer Funktion nicht eindeutig ist. Zum Beispiel unterscheidet sich x 2 + 17 {\Darstellungsstil x^{2}+17} $x^{2}+17$ auch zu 2 x {\Darstellungsstil 2x} $2x$ . Aus diesem Grund muss bei der Verwendung des Antiderivats eine Konstante C hinzugefügt werden. Dies nennt man ein unbestimmtes Integral. Denn wenn man die Ableitung einer Funktion findet, sind Konstanten gleich 0, wie in der Funktion

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\darstellungsstil f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\darstellungsstil f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Beachten Sie die 0: wir können sie nicht finden, wenn wir nur die Ableitung haben, also ist das Integral

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Einfache Gleichungen

Eine einfache Gleichung wie y = x 2 {\Darstellungsstil y=x^{2}}} $y=x^{2}$ kann in Bezug auf x mit der folgenden Technik integriert werden. Zur Integration addiert man 1 zur Potenz, auf die x angehoben wird, und dividiert x dann durch den Wert dieser neuen Potenz. Daher folgt die Integration einer Normalgleichung dieser Regel: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\darstellungsstil \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

Das d x {\Darstellungsstil dx} $dx$ am Ende zeigt, dass wir uns in Bezug auf x integrieren, d.h. wenn sich x ändert. Dies kann als Umkehrung der Differenzierung gesehen werden. Es gibt jedoch eine Konstante, C, die bei der Integration hinzugefügt wird. Dies wird die Konstante der Integration genannt. Dies ist erforderlich, weil die Differenzierung einer ganzen Zahl Null ergibt, weshalb die Integration von Null (die an das Ende eines beliebigen Integranden gestellt werden kann) eine ganze Zahl, C, ergibt.

Gleichungen mit mehr als einem Term werden einfach durch Integration jedes einzelnen Terms integriert:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\darstellungsstil \int _{\,}^{\,}x^{{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{{3}}}{3}}}+{\frac {3x^{2}}}{2}}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integration mit e und ln

Es gibt bestimmte Regeln für die Integration mit e und dem natürlichen Logarithmus. Am wichtigsten ist, dass e x {\Darstellungsstil e^{x}} $e^{x}$ das Integral von sich selbst ist (mit dem Zusatz einer Integrationskonstante): ∫ e x d x = e x + C {\Darstellungsstil \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Der natürliche Logarithmus, ln, ist nützlich bei der Integration von Gleichungen mit 1 / x {\Darstellungsstil 1/x} $1/x$ . Diese können nicht mit der obigen Formel (Eins zur Potenz addieren, durch die Potenz dividieren) integriert werden, da die Addition von Eins zur Potenz 0 ergibt und eine Division durch 0 nicht möglich ist. Stattdessen $1/x$ ist das Integral von 1 / x {\darstellungsstil 1/x} ln x {\darstellungsstil \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\darstellungsstil \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

In einer allgemeineren Form: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Die beiden senkrechten Balken zeigten einen absoluten Wert an; das Vorzeichen (positiv oder negativ) von f ( x ) {\darstellungsstil f(x)} f(x) wird ignoriert. Der Grund dafür ist, dass es keinen Wert für den natürlichen Logarithmus negativer Zahlen gibt.

Eigenschaften

Summe der Funktionen

Das Integral einer Summe von Funktionen ist die Summe der Integrale der einzelnen Funktionen, d.h,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\Anzeigestil \int \Grenzen _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \Grenzen _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \Grenzen _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Der Beweis dafür ist einfach: Die Definition eines Integrals ist eine Grenze von Summen. So

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\Anzeigestil \int \begrenzt _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\bis \infty }\sum _{i=1}^{n}\links(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\rechts)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ → i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n ∑ ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\Anzeigestil =\int \Grenzen _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \Grenzen _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Beachten Sie, dass beide Integrale die gleichen Grenzen haben.

Konstanten in der Integration

Wenn sich eine Konstante in einem Integral mit einer Funktion befindet, kann die Konstante herausgenommen werden. Außerdem, wenn eine Konstante c nicht von einer Funktion begleitet wird, ist ihr Wert c * x. Das heißt,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\Darstellungsstil \int \Grenzen _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \Grenzen _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ und

Dies kann nur mit einer Konstanten geschehen.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\Anzeigestil \int \begrenzt _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Der Beweis erfolgt wiederum durch die Definition eines Integrals.

Andere

Wenn a, b und c in Ordnung sind (d.h. nacheinander auf der x-Achse), ist das Integral von f(x) von Punkt a bis Punkt b plus das Integral von f(x) von Punkt b bis c gleich dem Integral von Punkt a bis c,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\Anzeigestil \int \Grenzwerte _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \Grenzwerte _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \Grenzwerte _{a}^{c}f(x)\, $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ dx}wenn sie in Ordnung sind. (Dies gilt auch, wenn a, b, c nicht in Ordnung sind, wenn wir ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ definieren).

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\Anzeigestil \int \begrenzt _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Dies folgt dem Fundamentalsatz der Analysis (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\Anzeigestil \int \begrenzt _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \begrenzt _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Wiederum im Anschluss an die FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\Anzeigeart F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} {\Anzeigeart F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Fragen und Antworten

F: Was ist ein Integral?

A: Ein Integral ist die Fläche unter dem Graphen einer Gleichung, auch bekannt als "die Fläche unter einer Kurve". Es ist das Gegenteil einer Ableitung und gehört zu einem Zweig der Mathematik, der Kalkül genannt wird.

F: Wie sieht das Symbol für die Integration aus?

A: Das Symbol für Integration in der Infinitesimalrechnung sieht aus wie ein großes "S": ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

F: Wie hängen Integrale und Ableitungen zusammen?

A: Integrale und Ableitungen sind durch den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung miteinander verbunden, der besagt, dass ein Integral durch eine Ableitung umgekehrt werden kann, ähnlich wie eine Addition durch eine Subtraktion umgekehrt werden kann.

F: Wann kann man die Integration verwenden?

A: Die Integration kann verwendet werden, wenn man versucht, Einheiten in einem Problem zu multiplizieren oder das Volumen eines Körpers zu bestimmen. Sie hilft dabei, zweidimensionale Scheiben zu addieren, bis sie breit genug sind, um dem Objekt drei Dimensionen und sein Volumen zu geben.

F: Inwiefern ist die Integration mit der Summation vergleichbar?

A: Die Integration ähnelt der Summation insofern, als dass sie viele kleine Dinge zusammenzählt, aber bei der Integration müssen wir auch alle Dezimalzahlen und Brüche dazwischen addieren.

F: Was bedeutet Riemannsche Summe?

A: Eine Riemannsche Summe bedeutet, dass kleine Teile des Kurvendiagramms addiert werden, bis sie sich zu einer ganzen Gleichung zusammenfügen.