Ableitung (Mathematik)

Definition einer Ableitung

Die Ableitung von y in Bezug auf x ist definiert als die Änderung von y über die Änderung von x, da der Abstand zwischen x 0 {\Darstellungsstil x_{0}} und x 1 {\Darstellungsstil x_{1}} unendlich klein (infinitesimal) wird. Mathematisch ausgedrückt,

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}}

Das heißt, wenn sich der Abstand zwischen den beiden x-Punkten (h) dem Nullpunkt nähert, nähert sich die Steigung der Linie zwischen ihnen einer Tangente an.

Eine Animation, die eine intuitive Vorstellung von der Ableitung vermittelt, wie sich der "Schwung" einer Funktion ändert, wenn sich das Argument ändert.

Ableitungen von Funktionen

Lineare Funktionen

Ableitungen von linearen Funktionen (Funktionen der Form a x + b {\Darstellungsstil ax+b} ohne quadratische oder höhere Terme) sind konstant. Das bedeutet, dass die Ableitung an einer Stelle des Graphen an einer anderen Stelle gleich bleibt.

Wenn die abhängige Variable y {\displaystyle y} direkt den Wert von x {\displaystyle x} annimmt ( y = x {\displaystyle y=x} ), ist die Steigung der Linie an allen Stellen 1, also d d x ( x ) = 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x)=1} unabhängig davon, wo sich die Position befindet.

Wenn y {\Anzeigestil y} die Zahl von x {\Anzeigestil x} durch Addieren oder Subtrahieren eines konstanten Wertes ändert, ist die Steigung immer noch 1, da sich die Änderung von x {\Anzeigestil x} und y {\Anzeigestil y} nicht ändert, wenn der Graph nach oben oder unten verschoben wird. Das heißt, die Steigung ist immer noch 1 über den gesamten Graphen und ihre Ableitung ist ebenfalls 1.

Leistungs-Funktionen

Potenzfunktionen (z.B. x ein {\Darstellungsstil x^{a}} ) verhalten sich anders als lineare Funktionen, weil ihre Steigung variiert (weil sie einen Exponenten haben).

Potenzfunktionen folgen im Allgemeinen der Regel, dass d d d x x a = a x a - 1 {\darstellungsstil {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}} . Das heißt, wenn wir a die Zahl 6 geben, dann ist d d x x 6 = 6 x 5 {\darstellungsstil {\frac {d}{dx}}x^{6}=6x^{5}}

Ein weiteres möglicherweise nicht so offensichtliches Beispiel ist die Funktion f ( x ) = 1 x {\darstellungsstil f(x)={\frac {1}{x}}} . Dies ist im Wesentlichen das Gleiche, da 1/x vereinfacht werden kann, um Exponenten zu verwenden:

f ( x ) = 1 x = x - 1 {\darstellungsstil f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}}

f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {\Anzeigestil f'(x)=-1(x^{-2})}

f ′ ( x ) = - 1 x 2 {\darstellungsstil f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}}

Darüber hinaus können Wurzeln geändert werden, um gebrochene Exponenten zu verwenden, wenn ihre Ableitung gefunden werden kann:

f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {\darstellungsstil f(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}}=x^{\frac {2}{3}}}}

f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {\darstellungsstil f'(x)={\frac {2}{3}}}(x^{-{\frac {1}{3}}}})}

Exponentielle Funktionen

Ein Exponential ist von der Form a b f ( x ) {\links(x\rechts)}}, wobei a {\links(x\rechts)} und b {\darstellungsstil b} Konstanten sind und f ( x ) {\darstellungsstil f(x)} eine Funktion von x {\darstellungsstil x} ist. Der Unterschied zwischen einem Exponential- und einem Polynom ist, dass in einem Polynom x {\darstellungsstil x} in eine gewisse Potenz erhoben wird, während in einem Exponentialpolynom x {\darstellungsstil x} in der Potenz liegt.

Beispiel 1

d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ ln ( b ) {\displaystyle {\frac {\frac {d}{dx}}\left(ab^{f\left(x\right)}\right)=ab^{f(x)}\cdot f'\left(x\right)\cdot \ln(b)}

Beispiel 2

Suchen Sie d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\links(3\cdot 2^{3{x^{2}}}}\rechts)} .

a = 3 {\Anzeigestil a=3}

b = 2 {\Anzeigestil b=2}

f ( x ) = 3 x 2 {\Anzeigestil f\links (x\rechts)=3x^{2}}}

f ′ ( x ) = 6 x {\Anzeigestil f'\links (x\rechts)=6x}

Deshalb,

d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ 2 3 x 2 {\displaystyle {\frac {d}{{dx}}\links(3\cPunkt 2^{3x^{2}}\rechts)=3\cPunkt 2^{3x^{2}}\cPunkt 6x\cPunkt \ln \links(2\rechts)=\ln \links(2\rechts)\cPunkt 18x\cPunkt 2^{3x^^{2}}}

Logarithmische Funktionen

Die Ableitung der Logarithmen ist der Kehrwert:

d d d x ln ( x ) = 1 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}} .

Nehmen Sie zum Beispiel d d d x ln ( 5 x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left({\frac {5}{x}}\right)} . Dies kann reduziert werden auf (durch die Eigenschaften von Logarithmen):

d d d x ( ln ( 5 ) ) - d d d x ( ln ( x ) ) {\Anzeigestil {\frac {d}{dx}}(\ln(5))-{\frac {d}{d}{dx}}}(\ln(x))}

Der Logarithmus von 5 ist eine Konstante, so dass seine Ableitung 0 ist. Die Ableitung von ln(x) ist 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}}} . So,

0 - d d d x ln ( x ) = - 1 x {\darstellungsstil 0-{\frac {d}{dx}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}}}

Für Ableitungen von Logarithmen nicht zur Basis e wie d d x ( log 10 ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\log _{10}(x))} , dies kann reduziert werden auf: d d d x log 10 ( x ) = d d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {\displaystyle {\frac}}(\log _{{10}(x))} log _{10}(x)={\frac {d}{d}{d}{dx}}{\frac {\ln {x}}{\ln {10}}}={\frac {1}{\ln {10}}}{\frac {d}{\x}}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}

Trigonometrische Funktionen

Die Kosinusfunktion ist die Ableitung der Sinusfunktion, während die Ableitung des Kosinus ein negativer Sinus ist (vorausgesetzt, dass x im Bogenmaß gemessen wird):

d d d x sin ( x ) = cos ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}

d d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}

d d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)} .

Eigenschaften von Derivaten

Derivate können z.B. in kleinere Teile zerlegt werden, wenn sie handhabbar sind (da sie nur eines der oben genannten Funktionsmerkmale aufweisen):

d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}(3x^{6}+x^{2}-6)} kann als solches aufgebrochen werden:

d d d x ( 3 x 6 ) + d d d x ( x 2 ) - d d d x ( 6 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}(3x^{6})+{\frac {d}{d}{dx}}(x^{2})-{\frac {d}{dx}}}(6)}

= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {\displaystyle =6\cdot 3x^{5}+2x-0}

= 18 x 5 + 2 x {\Anzeigestil =18x^{5}+2x\,}

Verwendung von Derivaten

Die Ableitung einer Funktion kann verwendet werden, um nach den Maxima und Minima der Funktion zu suchen, indem nach Stellen gesucht wird, an denen ihre Steigung Null ist.

Ableitungen werden in der Newtonschen Methode verwendet, die hilft, Nullen (Wurzeln) einer Funktion zu finden.

Ableitung kann zunehmende oder abnehmende und Konkavität bestimmen

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