Logarithmus

Geschichte

Logarithmen wurden erstmals im 2. Jahrhundert v. Chr. in Indien verwendet. Der erste, der in der Neuzeit Logarithmen verwendete, war der deutsche Mathematiker Michael Stifel (um 1487-1567). Er schrieb 1544 die folgenden Gleichungen auf: q m q n = q m + n {\Darstellungsstil q^{m}q^{n}=q^{m+n}}} und q m q n = q m - n {\Darstellungsstil {\tfrac {q^{m}}}{q^{n}}}=q^{m-n}} Dies ist die Grundlage für das Verständnis von Logarithmen. Für Stifel mussten m {\darstellungsstil m} und n {\darstellungsstil n} ganze Zahlen sein. John Napier (1550-1617) wollte diese Einschränkung nicht und wollte einen Bereich für die Exponenten.

Nach Napier drücken Logarithmen Verhältnisse aus: a {\Darstellungsstil a} hat das gleiche Verhältnis zu b {\Darstellungsstil b} , wie c {\Darstellungsstil c} zu d {\Darstellungsstil d}, wenn die Differenz ihrer Logarithmen übereinstimmt. Mathematisch gesehen: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\Anzeigestil \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)} . Zuerst wurde die Basis e verwendet (obwohl die Zahl noch nicht benannt worden war). Henry Briggs schlug vor, 10 als Basis für Logarithmen zu verwenden, solche Logarithmen sind in der Astronomie sehr nützlich.

John Napier arbeitete über Logarithmen

Beziehung mit Exponentialfunktionen

Ein Logarithmus gibt an, welcher Exponent (oder welche Potenz) erforderlich ist, um eine bestimmte Zahl zu bilden, so dass Logarithmen das Umgekehrte (Gegenteil) der Potenzierung sind.

So wie eine Exponentialfunktion drei Teile hat, hat ein Logarithmus drei Teile. Die drei Teile eines Logarithmus sind eine Basis, ein Argument und eine Antwort (auch Potenz genannt).

Dies ist eine Exponentialfunktion:

2 3 = 8 {\Anzeigestil 2^{3}=8\ }

In dieser Funktion ist die Basis 2, das Argument ist 3 und die Antwort ist 8.

Diese Exponentialfunktion hat eine Umkehrung, ihren Logarithmus:

log 2 ( 8 ) = 3 {\Anzeigestil \log _{2}(8)=3\ }

In diesem Logarithmus ist die Basis 2, das Argument ist 8 und die Antwort ist 3.

Unterschied zu Wurzeln

Addition hat eine inverse Operation: die Subtraktion. Auch die Multiplikation hat eine inverse Operation: die Division. Daher mag es schwer zu verstehen sein, warum die Potenzierung eigentlich zwei inverse Operationen hat: Wozu brauchen wir den Logarithmus, wenn es die Wurzel bereits gibt? Dies ist der Fall, weil die Potenzierung nicht kommutativ ist.

Das folgende Beispiel veranschaulicht dies:

• Wenn Sie x+2=3 haben, dann können Sie durch Subtraktion herausfinden, dass x=3-2 ist. Das ist dasselbe, wenn Sie 2+x=3 haben: Sie erhalten ebenfalls x=3-2. Das liegt daran, dass x+2 dasselbe ist wie 2+x.
• Wenn Sie x - 2=3 haben, dann können Sie die Division verwenden, um herauszufinden, dass x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Dies ist dasselbe, wenn Sie 2 - x=3 haben: Sie erhalten auch x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}} . Dies liegt daran, dass x - 2 dasselbe ist wie 2 - x.
• Wenn Sie x²=3 haben, dann verwenden Sie die (Quadrat-)Wurzel, um x herauszufinden: Sie erhalten das Ergebnis x = 3 {\textstyle {\sqrt {3}}} . Wenn Sie jedoch ^2x=3 haben, dann können Sie nicht die Wurzel verwenden, um x herauszufinden. Vielmehr müssen Sie den (binären) Logarithmus verwenden, um x herauszufinden: Sie erhalten das Ergebnis x=log2(3).
  Das liegt daran, dass ^2x normalerweise nicht dasselbe ist wie x2 (z.B. ²⁵⁼³², sondern 5²=25).

Verwendet

Logarithmen können die Multiplikation und Division großer Zahlen erleichtern, denn das Addieren von Logarithmen ist dasselbe wie das Multiplizieren, und das Subtrahieren von Logarithmen dasselbe wie das Dividieren.

Bevor Taschenrechner populär und gebräuchlich wurden, benutzte man Logarithmentafeln in Büchern zum Multiplizieren und Dividieren. Dieselben Informationen in einer Logarithmentafel waren auch auf einem Rechenschieber, einem Werkzeug mit darauf geschriebenen Logarithmen, verfügbar.

• Logarithmische Spiralen sind in der Natur weit verbreitet. Beispiele sind die Schale einer Nautilus oder die Anordnung der Samen auf einer Sonnenblume.
• In der Chemie ist das Negativ des Logarithmus zur Basis 10 der Aktivität von Hydroniumionen (H3O+, die Form, die H+ im Wasser annimmt) das als pH-Wert bekannte Maß. Die Aktivität von Hydroniumionen in neutralem Wasser beträgt ^10-7 mol/L bei 25 °C, also einen pH-Wert von 7. (Dies ergibt sich aus der Gleichgewichtskonstante, dem Produkt der Konzentration von Hydronium- und Hydroxylionen, in wässrigen Lösungen von 10-14 M2).
• Die Richterskala misst die Erdbebenintensität auf einer logarithmischen Skala zur Basis 10.
• In der Astronomie misst die scheinbare Helligkeit die Helligkeit von Sternen logarithmisch, da das Auge ebenfalls logarithmisch auf die Helligkeit reagiert.
• Musikalische Intervalle werden logarithmisch als Halbtöne gemessen. Das Intervall zwischen zwei Noten in Halbtönen ist der Logarithmus zur Basis 21/12 des Frequenzverhältnisses (oder äquivalent dazu das 12-fache des Logarithmus zur Basis 2). Für nicht gleichschwebende Stimmungen werden gebrochene Halbtöne verwendet. Insbesondere zur Messung von Abweichungen von der gleichschwebend temperierten Skala werden Intervalle auch in Cents (Hundertstel eines gleichschwebend temperierten Halbtons) ausgedrückt. Das Intervall zwischen zwei Tönen in Cents ist der Logarithmus zur Basis 21/1200 des Frequenzverhältnisses (oder das 1200-fache des Logarithmus zur Basis 2). In MIDI werden die Noten auf der Halbtonskala nummeriert (logarithmische absolute Nominaltonhöhe mit mittlerem C bei 60). Für die Mikrostimmung auf andere Stimmsysteme wird eine logarithmische Skala definiert, die die Bereiche zwischen den Halbtönen der gleichschwebend temperierten Skala in kompatibler Weise ausfüllt. Diese Skala entspricht den Notennummern für ganze Halbtöne. (siehe Mikrostimmung in MIDI).

Gemeinsame Logarithmen

Logarithmen zur Basis 10 werden als gewöhnliche Logarithmen bezeichnet. Sie werden normalerweise ohne die Basis geschrieben. Zum Beispiel:

log ( 100 ) = 2 {\Anzeigestil \log(100)=2\ }

Das bedeutet:

10 2 = 100 {\Anzeigestil 10^{2}=100\ }

Natürliche Logarithmen

Logarithmen zur Basis e werden natürliche Logarithmen genannt. Die Zahl e beträgt fast 2,71828 und wird nach dem Mathematiker Leonhard Euler auch als Euler-Konstante bezeichnet.

Die natürlichen Logarithmen können die Symbole log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)\,} oder ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)\,} annehmen

Einige Autoren bevorzugen die Verwendung von natürlichen Logarithmen als log ( x ) {\displaystyle \log(x)}, erwähnen dies aber normalerweise auf den Vorwort-Seiten.

Gemeinsame Grundlagen für Logarithmen

Basis	Abkürzung	Anmerkungen
2	ld {\Anzeigestil \Betreibername {ld} }	Sehr verbreitet in der Informatik (binär)
e	ln {\Anzeigestil \ln } oder einfach log {\Anzeigestil \log }	Die Basis dafür ist die Eulersche Konstante e. Dies ist der in der reinen Mathematik am häufigsten verwendete Logarithmus.
10	log 10 {\ansichtsstil \log _{10}} oder log {\ansichtsstil \log } (manchmal auch geschrieben als lg {\displaystyle \lg } )	Wird in einigen Wissenschaften wie Chemie und Biologie verwendet.
beliebige Zahl, n	log n {\Anzeigestil \log _{n}}	Dies ist die allgemeine Art, Logarithmen zu schreiben

Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen haben viele Eigenschaften. Zum Beispiel

Eigenschaften aus der Definition eines Logarithmus

Diese Eigenschaft ergibt sich direkt aus der Definition eines Logarithmus:

log n ( n a ) = a {\Anzeigestil \log _{{n}(n^{a})=a} Zum Beispiel

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\Anzeigestil \log _{2}(2^{3})=3} und

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\darstellungsstil \log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}}{\bigg )}=-1} weil 1 2 = 2 - 1 {\darstellungsstil {\frac {1}{2}}}=2^{-1}} .

Der Logarithmus zur Basis b einer Zahl a ist der gleiche wie der Logarithmus von a dividiert durch den Logarithmus von b. Das heißt,

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\log(b)}}

Zum Beispiel sei a gleich 6 und b gleich 2. Mit Taschenrechnern können wir zeigen, dass dies wahr oder zumindest sehr nahe dran ist:

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}}

log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 {\Anzeigestil \log _{2}(6)\approx 2.584962}

2,584962 ≈ 0,778151 0,301029 ≈ 2,584970 {\darstellungsstil 2,584962\ca. {\frac {0,778151}{0,301029}}}\ca. 2,584970}

Unsere Ergebnisse wiesen einen kleinen Fehler auf, der jedoch auf die Rundung der Zahlen zurückzuführen war.

Da es schwierig ist, sich den natürlichen Logarithmus vorzustellen, finden wir ihn in Form eines Basis-Zehn-Logarithmus:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0.434294 {\displaystyle \ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}\approx {\frac {\log(x)}{0.434294}}} wobei 0,434294 eine Näherung für den Logarithmus von e ist.

 

Operationen innerhalb von Logarithmus-Argumenten

Logarithmen, die sich innerhalb ihres Arguments multiplizieren, können wie folgt geändert werden:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\Anzeigestil \log(ab)=\log(a)+\log(b)}

Zum Beispiel,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3}

Dasselbe gilt für Dividieren, aber Subtrahieren statt Addieren, weil es die umgekehrte Operation der Multiplikation ist:

log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) {\darstellungsstil \log {\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)}

Logarithmustabellen, Rechenschieber und historische Anwendungen

Bevor es elektronische Computer gab, wurden Logarithmen täglich von Wissenschaftlern verwendet. Logarithmen halfen Wissenschaftlern und Ingenieuren in vielen Bereichen wie der Astronomie.

Vor den Computern war die Logarithmentafel ein wichtiges Hilfsmittel. Im Jahre 1617 druckte Henry Briggs die erste Logarithmentafel. Dies geschah bald nach der grundlegenden Erfindung von Napier. Später stellte man Tabellen mit besserem Umfang und höherer Präzision her. Diese Tabellen listeten die Werte von logb(x) und bx für eine beliebige Zahl x in einem bestimmten Bereich, mit einer bestimmten Genauigkeit, für eine bestimmte Basis b (normalerweise b = 10) auf. Zum Beispiel enthielt Briggs' erste Tabelle die gemeinsamen Logarithmen aller ganzen Zahlen im Bereich von 1-1000 mit einer Genauigkeit von 8 Ziffern. Da die Funktion f(x) = bx die Umkehrfunktion von logb(x) ist, wurde sie Antilogarithmus genannt. Man benutzte diese Tabellen zum Multiplizieren und Dividieren von Zahlen. Zum Beispiel schlug ein Benutzer den Logarithmus in der Tabelle für jede von zwei positiven Zahlen nach. Das Addieren der Zahlen aus der Tabelle würde den Logarithmus des Produkts ergeben. Das Antilogarithmusmerkmal der Tabelle würde dann das Produkt auf der Grundlage seines Logarithmus finden.

Für manuelle Berechnungen, die Präzision erfordern, ist das Nachschlagen der beiden Logarithmen, die Berechnung ihrer Summe oder Differenz und das Nachschlagen des Antilogarithmus viel schneller als die Multiplikation mit früheren Methoden.

Viele Logarithmentafeln geben Logarithmen an, indem sie das Merkmal und die Mantisse von x, d.h. den ganzzahligen Teil und den Bruchteil von log10(x), getrennt angeben. Die Charakteristik von 10 - x ist eins plus die Charakteristik von x, und ihre Bedeutungen sind gleich. Dies erweitert den Anwendungsbereich von Logarithmustabellen: Ausgehend von einer Tabelle, die log10(x) für alle ganzen Zahlen x im Bereich von 1 bis 1000 auflistet, wird der Logarithmus von 3542 angenähert durch

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354.2 ) = 1 + log 10 ( 354.2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\Anzeigestil \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\etwa 1+\log _{10}(354).\,}

Eine weitere kritische Anwendung war der Rechenschieber, ein Paar logarithmisch geteilter Skalen, die zur Berechnung verwendet werden, wie hier dargestellt:

Die Zahlen sind auf gleitenden Skalen in Abständen proportional zu den Unterschieden zwischen ihren Logarithmen markiert. Das Verschieben der oberen Skala kommt einer mechanischen Addition von Logarithmen gleich. Wenn man beispielsweise den Abstand von 1 bis 2 auf der unteren Skala zum Abstand von 1 bis 3 auf der oberen Skala addiert, erhält man ein Produkt von 6, das am unteren Teil abgelesen wird. Viele Ingenieure und Wissenschaftler verwendeten bis in die 1970er Jahre Rechenschieber. Wissenschaftler können mit einem Rechenschieber schneller arbeiten als mit einer Logarithmentafel.

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Schematische Darstellung eines Rechenschiebers. Ausgehend von 2 auf der unteren Skala addieren Sie den Abstand zu 3 auf der oberen Skala, um das Produkt 6 zu erhalten. Der Rechenschieber funktioniert, weil er so markiert ist, dass der Abstand von 1 bis x proportional zum Logarithmus von x ist.