Newtonverfahren
Die Newtonsche Methode bietet eine Möglichkeit, die echten Nullen einer Funktion zu finden. Dieser Algorithmus wird manchmal als Newton-Raphson-Methode bezeichnet, benannt nach Sir Isaac Newton und Joseph Raphson.
Die Methode verwendet die Ableitung der Funktion, um ihre Wurzeln zu finden. Es muss ein anfänglicher "Schätzwert" für die Lage der Nullstelle gemacht werden. Aus diesem Wert wird mit dieser Formel eine neue Schätzung berechnet:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\darstellungsstil x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}} 
Hier ist xn die anfängliche Schätzung und xn+1 die nächste Schätzung. Die Funktion f (deren Nullpunkt gelöst wird) hat die Ableitung f'.
Durch wiederholte Anwendung dieser Formel auf die generierten Vermutungen (d.h. durch Setzen des Wertes von xn auf die Ausgabe der Formel und Neuberechnung) nähert sich der Wert der Vermutungen einem Nullpunkt der Funktion.
Die Newtonsche Methode kann graphisch erklärt werden, indem man sich die Schnittpunkte der Tangentenlinien mit der x-Achse ansieht. Zuerst wird eine Tangente an die f bei xn berechnet. Dann wird der Schnittpunkt zwischen dieser Tangentenlinie und der x-Achse gefunden. Schließlich wird die x-Position dieses Schnittpunkts als nächste Schätzung, xn+1, festgehalten.
Die Funktion (blau) wird verwendet, um die Steigung einer Tangente (rot) an xn zu berechnen.
Probleme mit der Newton'schen Methode
Die Newtonsche Methode kann schnell eine Lösung finden, wenn der Schätzwert ausreichend nahe an der gewünschten Wurzel beginnt. Wenn der anfängliche Schätzwert jedoch nicht nahe genug liegt, kann die Newton'sche Methode je nach Funktion die Antwort langsam oder gar nicht finden.
Weiterführende Lektüre
- Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). Newton'sches Verfahren: Ein aktualisierter Ansatz der Theorie Kantorowitschs. Birkhäuser.
- Peter Deuflhard, Newton-Methoden für nichtlineare Probleme. Affine Invarianz und adaptive Algorithmen, Zweite gedruckte Ausgabe. Reihe Computermathematik 35, Springer (2006)
- Yamamoto, T. (2001). "Historische Entwicklungen in der Konvergenzanalyse für Newtonsche und Newton-ähnliche Methoden". In Brezinski, C.; Wuytack, L. (Hrsg.). Numerische Analyse: Historische Entwicklungen im 20. Jahrhundert. Nord-Holland. S. 241-263.
Siehe auch
- Kantorowitsch-Theorem (Erklärung zur Konvergenz der Newtonschen Methode, gefunden von Leonid Kantorowitsch)
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Fragen und Antworten
F: Was ist die Newtonsche Methode?
A: Die Newton-Methode ist ein Algorithmus zum Auffinden der reellen Nullstellen einer Funktion. Sie verwendet die Ableitung der Funktion, um ihre Wurzeln zu berechnen, und erfordert einen anfänglichen Schätzwert für die Lage der Nullstelle.
F: Wer hat diese Methode entwickelt?
A: Die Methode wurde von Sir Isaac Newton und Joseph Raphson entwickelt, daher wird sie manchmal auch als Newton-Raphson-Methode bezeichnet.
F: Wie funktioniert dieser Algorithmus?
A: Dieser Algorithmus funktioniert, indem er wiederholt eine Formel anwendet, die einen anfänglichen Schätzwert (xn) aufnimmt und einen neuen Schätzwert (xn+1) berechnet. Durch die Wiederholung dieses Prozesses nähern sich die Schätzwerte einer Null der Funktion.
F: Was ist erforderlich, um diesen Algorithmus zu verwenden?
A: Um diesen Algorithmus anwenden zu können, müssen Sie einen anfänglichen "Schätzwert" für die Lage der Nullstelle sowie Kenntnisse über die Ableitung Ihrer gegebenen Funktion haben.
F: Wie kann man die Newtonsche Methode grafisch erklären?
A: Wir können die Newtonsche Methode grafisch erklären, indem wir uns die Schnittpunkte der Tangentenlinien mit der x-Achse ansehen. Zunächst wird eine Linie berechnet, die f bei xn tangiert. Als nächstes suchen wir den Schnittpunkt dieser Tangente mit der x-Achse und notieren ihre x-Position als unsere nächste Vermutung - xn+1.
F: Gibt es irgendwelche Einschränkungen bei der Verwendung der Newton-Methode?
A: Ja, wenn Ihr anfänglicher Schätzwert zu weit von der tatsächlichen Wurzel entfernt ist, kann es länger dauern oder sogar scheitern, zur Wurzel zu konvergieren, weil sie um sie herum schwankt oder von ihr abweicht.
