Die Differentialrechnung wird verwendet, um die Änderungsrate einer Variablen im Vergleich zu einer anderen Variablen zu ermitteln.
In der realen Welt kann sie verwendet werden, um die Geschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts zu ermitteln oder um zu verstehen, wie Elektrizität und Magnetismus funktionieren. Sie ist sehr wichtig für das Verständnis der Physik und vieler anderer Bereiche der Wissenschaft.
Die Differentialrechnung ist auch für die grafische Darstellung nützlich. Sie kann verwendet werden, um die Steigung einer Kurve und den höchsten und niedrigsten Punkt (diese werden Maximum und Minimum genannt) einer Kurve zu finden.
Variablen können ihren Wert ändern. Dies ist anders als bei Zahlen, da Zahlen immer gleich sind. Zum Beispiel ist die Zahl 1 immer gleich 1 und die Zahl 200 ist immer gleich 200. Sie schreiben Variablen oft als Buchstaben, wie z.B. den Buchstaben x. "X" kann an einer Stelle gleich 1 und an einer anderen Stelle gleich 200 sein.
Einige Beispiele für Variablen sind Entfernung und Zeit, da sie sich ändern können. Die Geschwindigkeit eines Objekts ist die Entfernung, die es in einer bestimmten Zeit zurücklegt. Wenn also eine Stadt 80 Kilometer (50 Meilen) entfernt ist und eine Person in einem Auto in einer Stunde dort ankommt, ist sie mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 Kilometern (50 Meilen) pro Stunde gefahren. Aber das ist nur ein Durchschnitt - vielleicht fuhren sie zu manchen Zeiten schneller (auf einer Autobahn) und zu anderen Zeiten langsamer (an einer Ampel oder auf einer kleinen Straße, in der Menschen leben). Stellen Sie sich einen Autofahrer vor, der versucht, die Geschwindigkeit eines Autos nur mit dem Kilometerzähler (Entfernungsmesser) und der Uhr zu ermitteln, ohne Tachometer!
Bis zur Erfindung der Infinitesimalrechnung bestand die einzige Möglichkeit, dies herauszufinden, darin, die Zeit in immer kleinere Stücke zu zerschneiden, so dass die Durchschnittsgeschwindigkeit über die kleinere Zeit immer näher an die tatsächliche Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt herankam. Dies war ein sehr langer und harter Prozess und musste jedes Mal durchgeführt werden, wenn man etwas ausarbeiten wollte.
Ein sehr ähnliches Problem ist es, die Steigung (wie steil sie ist) an jedem Punkt einer Kurve zu finden. Die Steigung einer Geraden ist leicht zu berechnen - es geht einfach darum, wie viel sie nach oben geht (y oder vertikal) geteilt durch wie viel sie quer verläuft (x oder horizontal). Auf einer Kurve ist die Steigung jedoch eine Variable (hat an verschiedenen Punkten unterschiedliche Werte), da die Linie gekrümmt ist. Wenn die Kurve jedoch in sehr, sehr kleine Stücke geschnitten würde, würde die Kurve an diesem Punkt fast wie eine sehr kurze Gerade aussehen. Um ihre Neigung zu berechnen, kann also eine Gerade durch den Punkt gezogen werden, die die gleiche Neigung hat wie die Kurve an diesem Punkt. Wenn es genau richtig gemacht wird, hat die Gerade die gleiche Neigung wie die Kurve und wird Tangente genannt. Aber es gibt keine Möglichkeit, (ohne sehr komplizierte Mathematik) zu wissen, ob die Tangente genau richtig ist, und unsere Augen sind nicht genau genug, um sicher zu sein, ob sie genau oder einfach nur sehr nah ist.
Was Newton und Leibniz fanden, war eine Möglichkeit, die Steigung (oder die Geschwindigkeit im Streckenbeispiel) anhand einfacher und logischer Regeln genau zu berechnen. Sie teilten die Kurve in eine unendliche Anzahl von sehr kleinen Stücken auf. Dann wählten sie Punkte auf beiden Seiten der Strecke aus, die sie interessierten, und arbeiteten Tangenten an jedem einzelnen aus. Als sich die Punkte näher zu dem Punkt hin bewegten, der sie interessierte, näherte sich die Steigung einem bestimmten Wert, als die Tangenten sich der tatsächlichen Steigung der Kurve näherten. Der besondere Wert, dem sie sich näherte, war die tatsächliche Steigung.
Nehmen wir an, wir haben eine Funktion y = f ( x ) {\darstellungsstil y=f(x)}
. f ist die Abkürzung für Funktion, also bedeutet diese Gleichung "y ist eine Funktion von x". Dies sagt uns, dass die Höhe von y auf der vertikalen Achse davon abhängt, wie hoch x (die horizontale Achse) zu diesem Zeitpunkt ist. Zum Beispiel mit der Gleichung y = x 2 {\Darstellungsstil y=x^{2}} 
wissen wir, dass wenn x {\Anzeigestil x}
gleich 1 ist, dann ist y {\Anzeigestil y}
gleich 1; wenn x {\Anzeigestil x} gleich 3 ist, dann ist y {\Anzeigestil y} gleich 9; wenn x {\Anzeigestil x} gleich 20 ist, dann ist y {\Anzeigestil y} gleich 400. Die Ableitung, die mit dieser Methode hier erzeugt wird, ist 2 x {\darstellungsstil 2x}. 
oder 2 multipliziert mit x {\Anzeigestil x} . Wir wissen also, ohne Tangentenlinien zeichnen zu müssen, dass an jedem Punkt der Kurve f ( x ) = x 2 {\darstellungsstil f(x)=x^{2}} 
, die Ableitung, f ′ ( x ) {\darstellungsstil f'(x)} 
(markiert mit dem Primzahl-Symbol), wird an jeder Stelle 2 x {\Darstellungsstil 2x} sein. Dieser Prozess der Ausarbeitung einer Steigung mit Hilfe von Grenzwerten wird Differenzierung oder Ableitungsfindung genannt.
Die Art und Weise zu schreiben, die Ableitung in der Mathematik ist f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h . {\darstellungsstil f^{\prime }(x)=\lim _{h\rechter Pfeil 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}. } 
Leibniz kam zum gleichen Ergebnis, nannte aber h " d x {\d x {\displaystyle dx} 
", was "in Bezug auf x" bedeutet. Die daraus resultierende Änderung in f ( x ) nannte er {\darstellungsstil f(x)} 
" d y {\d y \displaystyle dy} 
", was "eine winzige Menge von y" bedeutet. Die Leibnizsche Notation wird von mehreren Büchern verwendet, weil sie leicht verständlich ist, wenn die Gleichungen komplizierter werden. In Leibniz-Notation: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}=f'(x)} 
Mathematiker haben diese grundlegende Theorie weiterentwickelt, um einfache Algebraregeln zu erstellen, mit denen die Ableitung fast jeder Funktion gefunden werden kann.
