Infinitesimalrechnung

Geschichte

In den 1670er und 1680er Jahren arbeiteten Sir Isaac Newton in England und Gottfried Leibniz in Deutschland zur gleichen Zeit getrennt voneinander an der Mathematik. Newton wollte eine neue Art der Vorhersage haben, wo Planeten am Himmel zu sehen sind, denn die Astronomie war schon immer eine beliebte und nützliche Form der Wissenschaft gewesen, und mehr über die Bewegungen der Objekte am Nachthimmel zu wissen, war für die Navigation von Schiffen wichtig. Leibniz wollte den Raum (die Fläche) unter einer Kurve (einer Linie, die nicht gerade ist) messen. Viele Jahre später stritten die beiden Männer darüber, wer sie zuerst entdeckt hatte. Wissenschaftler aus England unterstützten Newton, aber Wissenschaftler aus dem übrigen Europa unterstützten Leibniz. Die meisten Mathematiker sind sich heute darin einig, dass sich beide Männer den Kredit zu gleichen Teilen teilen. Einige Teile der modernen Mathematik stammen von Newton, wie z.B. seine Anwendungen in der Physik. Andere Teile kommen von Leibniz, wie die Symbole, mit denen es geschrieben wird.

Sie waren nicht die ersten, die die Mathematik zur Beschreibung der physischen Welt benutzten - Aristoteles und Pythagoras kamen früher, und auch Galileo Galilei, der sagte, dass die Mathematik die Sprache der Wissenschaft sei. Aber sowohl Newton als auch Leibniz waren die ersten, die ein System entwarfen, das beschreibt, wie sich die Dinge im Laufe der Zeit verändern und vorhersagen kann, wie sie sich in Zukunft verändern werden.

Der Name "Kalkül" war das lateinische Wort für einen kleinen Stein, den die alten Römer beim Zählen und Glücksspiel verwendeten. Das englische Wort "calculate" stammt vom gleichen lateinischen Wort ab.

Differenzialrechnung

Die Differentialrechnung wird verwendet, um die Änderungsrate einer Variablen im Vergleich zu einer anderen Variablen zu ermitteln.

In der realen Welt kann sie verwendet werden, um die Geschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts zu ermitteln oder um zu verstehen, wie Elektrizität und Magnetismus funktionieren. Sie ist sehr wichtig für das Verständnis der Physik und vieler anderer Bereiche der Wissenschaft.

Die Differentialrechnung ist auch für die grafische Darstellung nützlich. Sie kann verwendet werden, um die Steigung einer Kurve und den höchsten und niedrigsten Punkt (diese werden Maximum und Minimum genannt) einer Kurve zu finden.

Variablen können ihren Wert ändern. Dies ist anders als bei Zahlen, da Zahlen immer gleich sind. Zum Beispiel ist die Zahl 1 immer gleich 1 und die Zahl 200 ist immer gleich 200. Sie schreiben Variablen oft als Buchstaben, wie z.B. den Buchstaben x. "X" kann an einer Stelle gleich 1 und an einer anderen Stelle gleich 200 sein.

Einige Beispiele für Variablen sind Entfernung und Zeit, da sie sich ändern können. Die Geschwindigkeit eines Objekts ist die Entfernung, die es in einer bestimmten Zeit zurücklegt. Wenn also eine Stadt 80 Kilometer (50 Meilen) entfernt ist und eine Person in einem Auto in einer Stunde dort ankommt, ist sie mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 Kilometern (50 Meilen) pro Stunde gefahren. Aber das ist nur ein Durchschnitt - vielleicht fuhren sie zu manchen Zeiten schneller (auf einer Autobahn) und zu anderen Zeiten langsamer (an einer Ampel oder auf einer kleinen Straße, in der Menschen leben). Stellen Sie sich einen Autofahrer vor, der versucht, die Geschwindigkeit eines Autos nur mit dem Kilometerzähler (Entfernungsmesser) und der Uhr zu ermitteln, ohne Tachometer!

Bis zur Erfindung der Infinitesimalrechnung bestand die einzige Möglichkeit, dies herauszufinden, darin, die Zeit in immer kleinere Stücke zu zerschneiden, so dass die Durchschnittsgeschwindigkeit über die kleinere Zeit immer näher an die tatsächliche Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt herankam. Dies war ein sehr langer und harter Prozess und musste jedes Mal durchgeführt werden, wenn man etwas ausarbeiten wollte.

Ein sehr ähnliches Problem ist es, die Steigung (wie steil sie ist) an jedem Punkt einer Kurve zu finden. Die Steigung einer Geraden ist leicht zu berechnen - es geht einfach darum, wie viel sie nach oben geht (y oder vertikal) geteilt durch wie viel sie quer verläuft (x oder horizontal). Auf einer Kurve ist die Steigung jedoch eine Variable (hat an verschiedenen Punkten unterschiedliche Werte), da die Linie gekrümmt ist. Wenn die Kurve jedoch in sehr, sehr kleine Stücke geschnitten würde, würde die Kurve an diesem Punkt fast wie eine sehr kurze Gerade aussehen. Um ihre Neigung zu berechnen, kann also eine Gerade durch den Punkt gezogen werden, die die gleiche Neigung hat wie die Kurve an diesem Punkt. Wenn es genau richtig gemacht wird, hat die Gerade die gleiche Neigung wie die Kurve und wird Tangente genannt. Aber es gibt keine Möglichkeit, (ohne sehr komplizierte Mathematik) zu wissen, ob die Tangente genau richtig ist, und unsere Augen sind nicht genau genug, um sicher zu sein, ob sie genau oder einfach nur sehr nah ist.

Was Newton und Leibniz fanden, war eine Möglichkeit, die Steigung (oder die Geschwindigkeit im Streckenbeispiel) anhand einfacher und logischer Regeln genau zu berechnen. Sie teilten die Kurve in eine unendliche Anzahl von sehr kleinen Stücken auf. Dann wählten sie Punkte auf beiden Seiten der Strecke aus, die sie interessierten, und arbeiteten Tangenten an jedem einzelnen aus. Als sich die Punkte näher zu dem Punkt hin bewegten, der sie interessierte, näherte sich die Steigung einem bestimmten Wert, als die Tangenten sich der tatsächlichen Steigung der Kurve näherten. Der besondere Wert, dem sie sich näherte, war die tatsächliche Steigung.

Nehmen wir an, wir haben eine Funktion y = f ( x ) {\darstellungsstil y=f(x)} . f ist die Abkürzung für Funktion, also bedeutet diese Gleichung "y ist eine Funktion von x". Dies sagt uns, dass die Höhe von y auf der vertikalen Achse davon abhängt, wie hoch x (die horizontale Achse) zu diesem Zeitpunkt ist. Zum Beispiel mit der Gleichung y = x 2 {\Darstellungsstil y=x^{2}} wissen wir, dass wenn x {\Anzeigestil x} gleich 1 ist, dann ist y {\Anzeigestil y} gleich 1; wenn x {\Anzeigestil x} gleich 3 ist, dann ist y {\Anzeigestil y} gleich 9; wenn x {\Anzeigestil x} gleich 20 ist, dann ist y {\Anzeigestil y} gleich 400. Die Ableitung, die mit dieser Methode hier erzeugt wird, ist 2 x {\darstellungsstil 2x}. oder 2 multipliziert mit x {\Anzeigestil x} . Wir wissen also, ohne Tangentenlinien zeichnen zu müssen, dass an jedem Punkt der Kurve f ( x ) = x 2 {\darstellungsstil f(x)=x^{2}} , die Ableitung, f ′ ( x ) {\darstellungsstil f'(x)} (markiert mit dem Primzahl-Symbol), wird an jeder Stelle 2 x {\Darstellungsstil 2x} sein. Dieser Prozess der Ausarbeitung einer Steigung mit Hilfe von Grenzwerten wird Differenzierung oder Ableitungsfindung genannt.

Die Art und Weise zu schreiben, die Ableitung in der Mathematik ist f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h . {\darstellungsstil f^{\prime }(x)=\lim _{h\rechter Pfeil 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}. }

Leibniz kam zum gleichen Ergebnis, nannte aber h " d x {\d x {\displaystyle dx} ", was "in Bezug auf x" bedeutet. Die daraus resultierende Änderung in f ( x ) nannte er {\darstellungsstil f(x)} " d y {\d y \displaystyle dy} ", was "eine winzige Menge von y" bedeutet. Die Leibnizsche Notation wird von mehreren Büchern verwendet, weil sie leicht verständlich ist, wenn die Gleichungen komplizierter werden. In Leibniz-Notation: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}=f'(x)}

Mathematiker haben diese grundlegende Theorie weiterentwickelt, um einfache Algebraregeln zu erstellen, mit denen die Ableitung fast jeder Funktion gefunden werden kann.

Auf einer Kurve haben zwei verschiedene Punkte unterschiedliche Steigungen. Die roten und blauen Linien sind Tangenten an die Kurve.


Ein Bild, das zeigt, was x und x + h auf der Kurve bedeuten.

Integralrechnung

Integralrechnung ist der Prozess der Berechnung der Fläche unter einem Graphen einer Funktion. Ein Beispiel ist die Berechnung der Entfernung, die ein Auto zurücklegt: Wenn Sie die Geschwindigkeit des Autos zu verschiedenen Zeitpunkten kennen und einen Graphen dieser Geschwindigkeit zeichnen, dann ist die Entfernung, die das Auto zurücklegt, die Fläche unter dem Graphen.

Die Methode dazu besteht darin, die Grafik in viele sehr kleine Stücke zu unterteilen und dann sehr dünne Rechtecke unter jedes Stück zu zeichnen. Wenn die Rechtecke immer dünner werden, bedecken die Rechtecke den Bereich unter dem Diagramm immer besser. Die Fläche eines Rechtecks ist leicht zu berechnen, so dass wir die Gesamtfläche aller Rechtecke berechnen können. Bei dünneren Rechtecken nähert sich dieser Gesamtflächenwert der Fläche unter dem Diagramm an. Der endgültige Wert der Fläche wird als Integral der Funktion bezeichnet.

In der Mathematik wird das Integral der Funktion f(x) von a bis b als ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} geschrieben.

Bei der Integration geht es darum, die Bereiche zu finden, wobei a, b und y = f(x) sind.


Wir können die Fläche unter einer Kurve approximieren, indem wir die Flächen vieler Rechtecke unter der Kurve addieren. Je mehr Rechtecke wir verwenden, desto besser unsere Annäherung.

Hauptidee der Analysis

Die Hauptidee der Analysis wird als Fundamentalsatz der Analysis bezeichnet. Diese Hauptidee besagt, dass die beiden Rechenverfahren, die Differential- und die Integralrechnung, Gegensätze sind. Das heißt, dass eine Person die Differentialrechnung verwenden kann, um einen Prozess der Integralrechnung rückgängig zu machen. Außerdem kann eine Person die Integralrechnung verwenden, um eine Methode der Differentialrechnung rückgängig zu machen. Dies ist genau wie die Verwendung der Division, um eine Multiplikation "rückgängig zu machen", oder die Addition, um eine Subtraktion "rückgängig zu machen".

In einem einzigen Satz läuft das Fundamentalsatz etwa so ab: "Die Ableitung des Integrals einer Funktion f ist die Funktion selbst".

Andere Anwendungen von Kalkül

Kalkül wird verwendet, um Dinge zu beschreiben, die sich verändern, wie Dinge in der Natur. Sie kann zum Zeigen und Lernen all dieser Dinge verwendet werden:

• Wie Wellen sich bewegen. Wellen sind in der Natur sehr wichtig. Zum Beispiel kann man sich Schall und Licht als Wellen vorstellen.
• Wo sich die Wärme bewegt, wie in einem Haus. Das ist nützlich für die Architektur (Hausbau), damit das Haus möglichst günstig beheizt werden kann.
• Wie sehr kleine Dinge wie Atome wirken.
• Wie schnell etwas fallen wird, auch als Schwerkraft bekannt.
• Wie Maschinen funktionieren, auch bekannt als Mechaniker.
• Die Bahn des Mondes bei seiner Bewegung um die Erde. Auch die Bahn der Erde bei ihrer Bewegung um die Sonne und alle Planeten oder Monde, die sich um irgendetwas im Weltraum bewegen.