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Antidifferenzierung (auch unbestimmte Integration genannt) ist eine Sache, die in der Mathematik gemacht wird. Sie ist das Gegenteil von Differenzierung.

Antiderivate können Ihnen auf allgemeine Weise etwas über die Größe sagen. Anti-Differenzierung wird auf Dinge wie Gleichungen angewandt. Durch Antidifferenzierung erhält man etwas, das Antiderivat genannt wird. Ein Antiderivat ist eine andere Art von Gleichung. Antidifferenzierung ist wie Integration mit, aber ohne Grenzen. Deshalb wird sie unbestimmt genannt.

Ein Antiderivat wird geschrieben wie ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx} {\displaystyle \int x\ dx}

Einfache Integration

So integrieren Sie eine x n {\Anzeigeart ax^{n}} {\displaystyle ax^{n}}

  • 1 zur Potenz n hinzufügen {\Anzeigeart n} n, so dass a x n {\Anzeigeart ax^{n}}{\displaystyle ax^{n}} jetzt a x n + 1 {\Anzeigeart ax^{n+1}}} ist {\displaystyle ax^{n+1}}
  • Dividieren Sie all dies durch die neue Macht, so dass es nun ein x n + 1 n + 1 {\darstellungsstil {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}} ist {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • Konstante c {\darstellungsstil c}{\displaystyle c} hinzufügen, so dass es jetzt a x n + 1 n + 1 + c {\darstellungsstil {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}+c} ist. {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Dies kann wie folgt dargestellt werden:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}+c} {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Wenn es viele x {\Darstellungsstil x} xBegriffe gibt, integrieren Sie jeden Teil für sich:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 7 - 5 x 5 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}}{7}}}-{\frac {5x^{5}}}{5}}+c={\frac {2}{7}}}x^{7}-x^{5}+c} {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Dies funktioniert nur, wenn die Teile hinzugefügt oder weggenommen werden).

Beispiele

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}}{5}}}+c} {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}}{2}}}+{\frac {x^{3}}{3}}}+{\frac {x^{4}}{4}}}+{\frac {x^{5}}}{5}}+c} {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Die Umwandlung von Brüchen und Wurzeln in Mächte macht es einfacher:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\darstellungsstil \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}}{-2}}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}}+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}}x^{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}}{\sqrt {x^{{5}}}+c} {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

Integrieren einer Klammer ("Kettenregel")

Wenn Sie eine Klammer wie ( 2 x + 4 ) 3 {\darstellungsstil (2x+4)^{3}}} integrieren möchten {\displaystyle (2x+4)^{3}}Wir müssen es anders machen. Das nennt man die Kettenregel. Es ist wie einfache Integration. Sie funktioniert nur, wenn x {\Anzeigestil x}x in der Klammer eine Potenz von 1 hat (sie ist linear) wie x {\Anzeigestil x} xoder 5 x {\Anzeigestil 5x}. {\displaystyle 5x}(nicht x 5 {\Darstellungsstil x^{5}}{\displaystyle x^{5}} oder x - 7 {\Darstellungsstil x^{-7}}{\displaystyle x^{-7}} ).

Zu tun ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • Addieren Sie 1 zur Potenz 3 {\Anzeigestil 3}{\displaystyle 3} , so dass es jetzt ( 2 x + 4 ) 4 {\Anzeigestil (2x+4)^{4}} ist. {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • Dividieren Sie all dies durch die neue Macht, um ( 2 x + 4 ) 4 4 4 {\darstellungsstil {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • Dividieren Sie all dies durch die Ableitung der Klammer ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\darstellungsstil \links({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\rechts)} {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}um ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\darstellungsstil {\frac {(2x+4)^{4}}{4\mal 2}}}={\frac {1}{8}}}(2x+4)^{4}}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Addieren Sie die Konstante c {\darstellungsstil c}{\displaystyle c}, um 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\darstellungsstil {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c} zu erhalten {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Beispiele

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\darstellungsstil \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}}{6\mal 1}}}+c={\frac {1}{6}}}(x+1)^{6}+c\links(\weil {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\rechts)} {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\mal 7}}}+c=-{\frac {1}{56}}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\links(\weil {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\rechts)} {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}


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Fragen und Antworten

F: Was ist Antidifferenzierung?


A: Antidifferenzierung (auch unbestimmte Integration genannt) ist der Prozess der Bestimmung einer bestimmten Funktion in der Infinitesimalrechnung. Sie ist das Gegenteil der Differenzierung und beinhaltet die Verarbeitung einer Funktion zu einer anderen Funktion (oder Klasse von Funktionen), die als Antiderivativ bezeichnet wird.

F: Wie wird es dargestellt?


A: Wenn sie als einzelne Buchstaben dargestellt werden, haben Antiderivate oft die Form von römischen Großbuchstaben wie F und G. Im Allgemeinen wird ein Antiderivativ in der Form ∫f(x) dx geschrieben.

F: Was beinhaltet die Antidifferenzierung?


A: Bei der Antidifferenzierung wird eine Funktion verarbeitet, um eine andere Funktion (oder eine Klasse von Funktionen) zu erhalten, die als Antiderivativ bezeichnet wird.

Q: Wie unterscheidet sie sich von der Integration?


A: Die Antidifferenzierung unterscheidet sich von der Integration dadurch, dass sie keine Grenzwerte einbezieht - deshalb wird sie auch als unbestimmte Integration bezeichnet.

Q: Welche Beispiele gibt es, wie die Antidifferenzierung ausgedrückt werden kann?


A: Beispiele dafür, wie die Antidifferenzierung ausgedrückt werden kann, sind F und G, wenn sie als einzelne Buchstaben dargestellt werden, oder ∫f(x) dx, wenn sie in der allgemeinen Form geschrieben werden.

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