Distributivgesetz

Autor: Leandro Alegsa Erstellungsdatum: 1. November 2021

Verteilung ist ein Konzept aus der Algebra: Es sagt aus, wie binäre Operationen zu behandeln sind. Der einfachste Fall ist der der Addition und Multiplikation von Zahlen. Zum Beispiel in der Arithmetik:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), aber 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

Auf der linken Seite der ersten Gleichung multipliziert die 2 die Summe von 1 und 3; auf der rechten Seite multipliziert sie die 1 und die 3 einzeln, wobei die Produkte anschließend addiert werden. Da diese die gleiche endgültige Antwort (8) ergeben, heißt es, dass die Multiplikation mit der 2 über die Addition von 1 und 3 verteilt ist. Da man an die Stelle von 2, 1 und 3 beliebige reelle Zahlen hätte setzen können und trotzdem eine echte Gleichung erhalten hätte, sagt man, dass die Multiplikation mit reellen Zahlen sich über die Addition von reellen Zahlen verteilt.

Definition

Angesichts einer Menge $S$ und zwei binären Operatoren ∗ und + auf $S$ sagen wir, dass die Operation:

∗ ist links-verteilend über + if, wenn irgendwelche Elemente $x, y$ und $z$ von $S$ gegeben sind,

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) , {\Anzeigestil x*(y+z)=(x*y)+(x*z),} $x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$

∗ ist rechtsverteilend über + if, wenn irgendwelche Elemente $x, y$ und $z$ von $S$ gegeben sind,

( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) , {\darstellungsstil (y+z)*x=(y*x)+(z*x),} $(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ und

∗ ist distributiv über +, wenn es links- und rechts-distributiv ist. Beachten Sie, dass, wenn ∗ kommutativ ist, die drei obigen Bedingungen logisch gleichwertig sind.

Berufungen

Die Verteilungseigenschaft kann auch auf diese angewendet werden:

Reale Zahlen
Komplexe Zahlen
Matrizen (es gelten besondere Regeln)
Vektoren (es gelten besondere Regeln)
Setzt
Propositionale Logik

Fragen und Antworten

F: Was ist die Verteilung in der Algebra?

A: Verteilung ist ein Konzept in der Algebra, das beschreibt, wie binäre Operationen wie Addition und Multiplikation gehandhabt werden.

F: Können Sie ein Beispiel für die Verteilung in der Arithmetik geben?

A: Ja, ein Beispiel für die Verteilung in der Arithmetik ist 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), wobei auf der linken Seite die 2 die Summe von 1 und 3 multipliziert, während auf der rechten Seite die 2 die 1 und die 3 einzeln multipliziert und die Produkte anschließend addiert werden.

F: Warum ist das Konzept der Verteilung in der Algebra wichtig?

A: Das Konzept der Verteilung ist in der Algebra wichtig, weil es dazu beiträgt, Gleichungen zu vereinfachen und sie leichter lösbar zu machen.

F: Verteilt die Multiplikation über die Addition aller reellen Zahlen?

A: Ja, die Multiplikation reeller Zahlen verteilt über die Addition reeller Zahlen. Das bedeutet, dass man beliebige reelle Zahlen an die Stelle der Werte in der Gleichung setzen könnte, die für das Beispiel der Verteilung in der Arithmetik verwendet wird, und trotzdem eine richtige Gleichung erhält.

F: Ist die Addition in allen Fällen distributiv gegenüber der Multiplikation?

A: Nein, die Addition ist nicht in allen Fällen distributiv gegenüber der Multiplikation; dies gilt nur für bestimmte Zahlenmengen wie die reellen Zahlen.

F: Können Sie ein Beispiel nennen, bei dem die Verteilung nicht zutrifft?

A: Ja, ein Gegenbeispiel, bei dem die Verteilung nicht zutrifft, ist 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). In diesem Fall ist die Gleichung auf der linken Seite nicht gleich der Gleichung auf der rechten Seite, weil die Division nicht über die Addition verteilt.

F: Wie wird die Verteilung auf binäre Operationen angewendet?

A: Die Verteilung in der Algebra gilt speziell für binäre Operationen wie Addition und Multiplikation, wo sie beschreibt, wie die Operationen auszuführen sind, wenn mehr als ein Operand beteiligt ist.