Quadratzahl
Eine Quadratzahl, manchmal auch als perfektes Quadrat bezeichnet, ist das Ergebnis einer mit sich selbst multiplizierten ganzen Zahl. 1, 4, 9, 16 und 25 sind die ersten fünf Quadratzahlen. In einer Formel wird das Quadrat einer Zahl n als n2 (Potenzierung) bezeichnet, üblicherweise als "n-Quadrat" ausgesprochen. Der Name Quadratzahl kommt vom Namen der Form; siehe unten.
Quadratzahlen sind nicht-negativ. Eine andere Art zu sagen, dass eine (nicht-negative) Zahl eine Quadratzahl ist, ist, dass ihre Quadratwurzel wieder eine ganze Zahl ist. Zum Beispiel: √9 = 3, also ist 9 eine Quadratzahl.
Beispiele
Die Quadrate (Sequenz A000290 im OEIS) sind kleiner als 702:
102 =100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
602 = 3600
612 = 3721
622 = 3844
632 = 3969
642 = 4096
652 = 4225
662 = 4356
672 = 4489
682 = 4624
692 = 4761
Es gibt unendlich viele Quadratzahlen, so wie es unendlich viele natürliche Zahlen gibt.
Eigenschaften
Die Zahl m ist eine Quadratzahl, wenn und nur wenn man ein Quadrat aus m gleichen (kleineren) Quadraten zusammensetzen kann:
| m = 12 = 1 |
|
| m = 22 = 4 |
|
| m = 32 = 9 |
|
| m = 42 = 16 |
|
| m = 52 = 25 |
|
| Hinweis: Weiße Lücken zwischen den Quadraten dienen nur zur Verbesserung der visuellen Wahrnehmung. | |
Ein Quadrat mit der Seitenlänge n hat die Fläche n2.
Der Ausdruck für die n-te Quadratzahl ist n2. Dies ist auch gleich der Summe der ersten n ungeraden Zahlen, wie in den obigen Bildern zu sehen ist, wo ein Quadrat aus dem vorhergehenden durch Addition einer ungeraden Anzahl von Punkten (dargestellt in Magenta) entsteht. Es folgt die Formel:
n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\Anzeigeart n^{2}=\summe _{k=1}^{n}(2k-1). } 
So zum Beispiel: 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Eine Quadratzahl kann nur mit den Ziffern 0, 1, 4, 6, 9 oder 25 zur Basis 10 wie folgt enden:
- Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 0 ist, endet ihr Quadrat in einer geraden Anzahl von 0s (also mindestens 00), und die Ziffern vor den endenden 0s müssen ebenfalls ein Quadrat bilden.
- Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 1 oder 9 ist, endet ihr Quadrat mit 1, und die aus ihren vorhergehenden Ziffern gebildete Zahl muss durch vier teilbar sein.
- Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 2 oder 8 ist, endet ihr Quadrat mit 4 und die vorhergehende Ziffer muss gerade sein.
- Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 3 oder 7 ist, endet ihr Quadrat in 9, und die aus den vorhergehenden Ziffern gebildete Zahl muss durch vier teilbar sein.
- Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 4 oder 6 ist, endet ihr Quadrat in 6 und die vorhergehende Ziffer muss ungerade sein.
- Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 5 ist, endet ihr Quadrat in 25 und die vorhergehenden Ziffern müssen 0, 2, 06 oder 56 sein.
Eine Quadratzahl kann keine perfekte Zahl sein.
Alle vierten Mächte, sechsten Mächte, achten Mächte und so weiter sind perfekte Quadrate.
Besondere Fälle
- Wenn die Zahl die Form m5 hat, wobei m für die vorhergehenden Ziffern steht, ist ihr Quadrat n25, wobei n = m × (m + 1) und für Ziffern vor 25 steht. Zum Beispiel kann das Quadrat von 65 berechnet werden durch n = 6 × (6 + 1) = 42, was das Quadrat gleich 4225 macht.
- Wenn die Zahl die Form m0 hat, wobei m die vorhergehenden Ziffern darstellt, ist ihr Quadrat n00, wobei n = m2. Zum Beispiel ist das Quadrat von 70 gleich 4900.
- Wenn die Zahl zweistellig ist und die Form 5m hat, wobei m die Ziffer der Einheit darstellt, ist ihr Quadrat AABB, wobei AA = 25 + m und BB = m2. Beispiel: Um das Quadrat von 57 zu berechnen, ist 25 + 7 = 32 und 72 = 49, was 572 = 3249 bedeutet.
Ungerade und gerade Quadratzahlen
Quadrate aus geraden Zahlen sind gerade (und tatsächlich durch 4 teilbar), da (2n)2 = 4n2.
Quadrate mit ungeraden Zahlen sind ungerade, da (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Daraus folgt, dass die Quadratwurzeln gerader Quadratzahlen gerade und die Quadratwurzeln ungerader Quadratzahlen ungerade sind.
Da alle geraden Quadratzahlen durch 4 teilbar sind, sind die geraden Zahlen der Form 4n + 2 keine Quadratzahlen.
Da alle ungeraden Quadratzahlen die Form 4n + 1 haben, sind die ungeraden Zahlen der Form 4n + 3 keine Quadratzahlen.
Quadrate mit ungeraden Zahlen haben die Form 8n + 1, da (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 und n(n + 1) eine gerade Zahl ist.
