Die Zahl m ist eine Quadratzahl, wenn und nur wenn man ein Quadrat aus m gleichen (kleineren) Quadraten zusammensetzen kann:
| m = 12 = 1 | 
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| m = 22 = 4 | 
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| m = 32 = 9 | 
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| m = 42 = 16 | 
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| m = 52 = 25 | 
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| Hinweis: Weiße Lücken zwischen den Quadraten dienen nur zur Verbesserung der visuellen Wahrnehmung.
Es dürfen keine Lücken zwischen den eigentlichen Quadraten vorhanden sein. |
Ein Quadrat mit der Seitenlänge n hat die Fläche n2.
Der Ausdruck für die n-te Quadratzahl ist n2. Dies ist auch gleich der Summe der ersten n ungeraden Zahlen, wie in den obigen Bildern zu sehen ist, wo ein Quadrat aus dem vorhergehenden durch Addition einer ungeraden Anzahl von Punkten (dargestellt in Magenta) entsteht. Es folgt die Formel:
n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\Anzeigeart n^{2}=\summe _{k=1}^{n}(2k-1). } 
So zum Beispiel: 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Eine Quadratzahl kann nur mit den Ziffern 0, 1, 4, 6, 9 oder 25 zur Basis 10 wie folgt enden:
- Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 0 ist, endet ihr Quadrat in einer geraden Anzahl von 0s (also mindestens 00), und die Ziffern vor den endenden 0s müssen ebenfalls ein Quadrat bilden.
- Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 1 oder 9 ist, endet ihr Quadrat mit 1, und die aus ihren vorhergehenden Ziffern gebildete Zahl muss durch vier teilbar sein.
- Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 2 oder 8 ist, endet ihr Quadrat mit 4 und die vorhergehende Ziffer muss gerade sein.
- Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 3 oder 7 ist, endet ihr Quadrat in 9, und die aus den vorhergehenden Ziffern gebildete Zahl muss durch vier teilbar sein.
- Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 4 oder 6 ist, endet ihr Quadrat in 6 und die vorhergehende Ziffer muss ungerade sein.
- Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 5 ist, endet ihr Quadrat in 25 und die vorhergehenden Ziffern müssen 0, 2, 06 oder 56 sein.
Eine Quadratzahl kann keine perfekte Zahl sein.
Alle vierten Mächte, sechsten Mächte, achten Mächte und so weiter sind perfekte Quadrate.
