Quadratzahl

Eine Quadratzahl, manchmal auch als perfektes Quadrat bezeichnet, ist das Ergebnis einer mit sich selbst multiplizierten ganzen Zahl. 1, 4, 9, 16 und 25 sind die ersten fünf Quadratzahlen. In einer Formel wird das Quadrat einer Zahl n als n2 (Potenzierung) bezeichnet, üblicherweise als "n-Quadrat" ausgesprochen. Der Name Quadratzahl kommt vom Namen der Form; siehe unten.

Quadratzahlen sind nicht-negativ. Eine andere Art zu sagen, dass eine (nicht-negative) Zahl eine Quadratzahl ist, ist, dass ihre Quadratwurzel wieder eine ganze Zahl ist. Zum Beispiel: √9 = 3, also ist 9 eine Quadratzahl.

Beispiele

Die Quadrate (Sequenz A000290 im OEIS) sind kleiner als 702:

02 =0

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16

52 = 25

62 = 36

72 = 49

82 = 64

92 = 81

102 =100

112 = 121

122 = 144

132 = 169

142 = 196

152 = 225

162 = 256

172 = 289

182 = 324

192 = 361

202 = 400

212 = 441

222 = 484

232 = 529

242 = 576

252 = 625

262 = 676

272 = 729

282 = 784

292 = 841

302 = 900

312 = 961

322 = 1024

332 = 1089

342 = 1156

352 = 1225

362 = 1296

372 = 1369

382 = 1444

392 = 1521

402 = 1600

412 = 1681

422 = 1764

432 = 1849

442 = 1936

452 = 2025

462 = 2116

472 = 2209

482 = 2304

492 = 2401

502 = 2500

512 = 2601

522 = 2704

532 = 2809

542 = 2916

552 = 3025

562 = 3136

572 = 3249

582 = 3364

592 = 3481

602 = 3600

612 = 3721

622 = 3844

632 = 3969

642 = 4096

652 = 4225

662 = 4356

672 = 4489

682 = 4624

692 = 4761

Es gibt unendlich viele Quadratzahlen, so wie es unendlich viele natürliche Zahlen gibt.

Besondere Fälle

  • Wenn die Zahl die Form m5 hat, wobei m für die vorhergehenden Ziffern steht, ist ihr Quadrat n25, wobei n = m × (m + 1) und für Ziffern vor 25 steht. Zum Beispiel kann das Quadrat von 65 berechnet werden durch n = 6 × (6 + 1) = 42, was das Quadrat gleich 4225 macht.
  • Wenn die Zahl die Form m0 hat, wobei m die vorhergehenden Ziffern darstellt, ist ihr Quadrat n00, wobei n = m2. Zum Beispiel ist das Quadrat von 70 gleich 4900.
  • Wenn die Zahl zweistellig ist und die Form 5m hat, wobei m die Ziffer der Einheit darstellt, ist ihr Quadrat AABB, wobei AA = 25 + m und BB = m2. Beispiel: Um das Quadrat von 57 zu berechnen, ist 25 + 7 = 32 und 72 = 49, was 572 = 3249 bedeutet.

Eigenschaften

Die Zahl m ist eine Quadratzahl, wenn und nur wenn man ein Quadrat aus m gleichen (kleineren) Quadraten zusammensetzen kann:

m = 12 = 1

m = 22 = 4

m = 32 = 9

m = 42 = 16

m = 52 = 25

Hinweis: Weiße Lücken zwischen den Quadraten dienen nur zur Verbesserung der visuellen Wahrnehmung.
Es dürfen keine Lücken zwischen den eigentlichen Quadraten vorhanden sein.

Ein Quadrat mit der Seitenlänge n hat die Fläche n2.

Der Ausdruck für die n-te Quadratzahl ist n2. Dies ist auch gleich der Summe der ersten n ungeraden Zahlen, wie in den obigen Bildern zu sehen ist, wo ein Quadrat aus dem vorhergehenden durch Addition einer ungeraden Anzahl von Punkten (dargestellt in Magenta) entsteht. Es folgt die Formel:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\Anzeigeart n^{2}=\summe _{k=1}^{n}(2k-1). } {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}

So zum Beispiel: 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Eine Quadratzahl kann nur mit den Ziffern 0, 1, 4, 6, 9 oder 25 zur Basis 10 wie folgt enden:

  1. Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 0 ist, endet ihr Quadrat in einer geraden Anzahl von 0s (also mindestens 00), und die Ziffern vor den endenden 0s müssen ebenfalls ein Quadrat bilden.
  2. Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 1 oder 9 ist, endet ihr Quadrat mit 1, und die aus ihren vorhergehenden Ziffern gebildete Zahl muss durch vier teilbar sein.
  3. Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 2 oder 8 ist, endet ihr Quadrat mit 4 und die vorhergehende Ziffer muss gerade sein.
  4. Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 3 oder 7 ist, endet ihr Quadrat in 9, und die aus den vorhergehenden Ziffern gebildete Zahl muss durch vier teilbar sein.
  5. Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 4 oder 6 ist, endet ihr Quadrat in 6 und die vorhergehende Ziffer muss ungerade sein.
  6. Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 5 ist, endet ihr Quadrat in 25 und die vorhergehenden Ziffern müssen 0, 2, 06 oder 56 sein.

Eine Quadratzahl kann keine perfekte Zahl sein.

Alle vierten Mächte, sechsten Mächte, achten Mächte und so weiter sind perfekte Quadrate.

Ungerade und gerade Quadratzahlen

Quadrate aus geraden Zahlen sind gerade (und tatsächlich durch 4 teilbar), da (2n)2 = 4n2.

Quadrate mit ungeraden Zahlen sind ungerade, da (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.

Daraus folgt, dass die Quadratwurzeln gerader Quadratzahlen gerade und die Quadratwurzeln ungerader Quadratzahlen ungerade sind.

Da alle geraden Quadratzahlen durch 4 teilbar sind, sind die geraden Zahlen der Form 4n + 2 keine Quadratzahlen.

Da alle ungeraden Quadratzahlen die Form 4n + 1 haben, sind die ungeraden Zahlen der Form 4n + 3 keine Quadratzahlen.

Quadrate mit ungeraden Zahlen haben die Form 8n + 1, da (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 und n(n + 1) eine gerade Zahl ist.

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