Algebraische Varietät
In der Mathematik sind algebraische Varietäten (auch Varietäten genannt) eines der zentralen Studienobjekte der algebraischen Geometrie. Die ersten Definitionen der algebraischen Varietät definierten sie als die Menge der Lösungen eines Systems von Polynomgleichungen über die reellen oder komplexen Zahlen. Moderne Definitionen einer algebraischen Vielfalt verallgemeinern diesen Begriff, während sie versuchen, die geometrische Intuition hinter der ursprünglichen Definition zu bewahren.
Die Konventionen bezüglich der Definition einer algebraischen Varietät sind unterschiedlich: Einige Autoren fordern, dass eine "algebraische Varietät" per Definition irreduzibel ist (was bedeutet, dass es nicht die Vereinigung von zwei kleineren Mengen ist, die in der Zariski-Topologie geschlossen sind), während andere dies nicht tun. Wenn die erstgenannte Konvention verwendet wird, werden nicht reduzierbare algebraische Varietäten als algebraische Mengen bezeichnet.
Der Begriff der Vielfalt ähnelt dem der Mannigfaltigkeit. Ein Unterschied zwischen einer Varietät und einer Mannigfaltigkeit besteht darin, dass eine Varietät einzelne Punkte haben kann, eine Mannigfaltigkeit hingegen nicht. Um das Jahr 1800 herum bewiesen, stellt der fundamentale Satz der Algebra eine Verbindung zwischen Algebra und Geometrie her, indem er zeigt, dass ein monisches Polynom in einer Variablen mit komplexen Koeffizienten (ein algebraisches Objekt) durch die Menge seiner Wurzeln (ein geometrisches Objekt) bestimmt wird. Dieses Ergebnis verallgemeinernd, bietet Hilberts Nullstellensatz eine grundlegende Übereinstimmung zwischen den Idealen polynomischer Ringe und algebraischer Mengen. Mit Hilfe des Nullstellensatzes und verwandter Ergebnisse haben Mathematiker eine starke Übereinstimmung zwischen Fragen zu algebraischen Mengen und Fragen der Ringtheorie hergestellt. Diese Korrespondenz ist die Spezifität der algebraischen Geometrie unter den anderen Teilgebieten der Geometrie.
Das verdrehte Kubik ist eine projektive algebraische Variante.
Fragen und Antworten
F: Was sind algebraische Varietäten?
A: Algebraische Varietäten sind eines der zentralen Studienobjekte der algebraischen Geometrie. Sie sind definiert als die Menge der Lösungen eines Systems von Polynomgleichungen über den reellen oder komplexen Zahlen.
F: Wie unterscheiden sich moderne Definitionen von der ursprünglichen Definition?
A: Moderne Definitionen versuchen, die geometrische Intuition hinter der ursprünglichen Definition zu bewahren und sie gleichzeitig zu verallgemeinern. Einige Autoren verlangen, dass eine "algebraische Vielfalt" per Definition irreduzibel ist (was bedeutet, dass sie nicht die Vereinigung zweier kleinerer Mengen ist, die in der Zariski-Topologie geschlossen sind), während andere dies nicht tun.
F: Was ist ein Unterschied zwischen einer Varietät und einer Mannigfaltigkeit?
A: Eine Varietät kann singuläre Punkte haben, während eine Mannigfaltigkeit dies nicht tut.
F: Was besagt der Fundamentalsatz der Algebra?
A: Der Fundamentalsatz der Algebra stellt eine Verbindung zwischen Algebra und Geometrie her, indem er zeigt, dass ein monisches Polynom in einer Variablen mit komplexen Koeffizienten (ein algebraisches Objekt) durch die Menge seiner Wurzeln (ein geometrisches Objekt) bestimmt wird.
F: Was liefert der Hilbertsche Nullstellensatz?
A: Der Hilbertsche Nullstellensatz liefert eine grundlegende Korrespondenz zwischen Idealen von Polynomringen und algebraischen Mengen.
F: Wie wurde diese Korrespondenz von Mathematikern genutzt?
A: Mathematiker haben mit Hilfe dieser Korrespondenz eine starke Korrespondenz zwischen Fragen zu algebraischen Mengen und Fragen der Ringtheorie hergestellt.
F: Was macht dieses spezielle Gebiet einzigartig unter den anderen Teilgebieten der Geometrie? A: Die starke Korrespondenz zwischen Fragen zu algebraischen Mengen und Fragen der Ringtheorie macht diesen Bereich einzigartig unter den anderen Teilbereichen der Geometrie.
