In der Mathematik sind algebraische Varietäten (auch Varietäten genannt) eines der zentralen Studienobjekte der algebraischen Geometrie. Die ersten Definitionen der algebraischen Varietät definierten sie als die Menge der Lösungen eines Systems von Polynomgleichungen über die reellen oder komplexen Zahlen. Moderne Definitionen einer algebraischen Vielfalt verallgemeinern diesen Begriff, während sie versuchen, die geometrische Intuition hinter der ursprünglichen Definition zu bewahren.
Die Konventionen bezüglich der Definition einer algebraischen Varietät sind unterschiedlich: Einige Autoren fordern, dass eine "algebraische Varietät" per Definition irreduzibel ist (was bedeutet, dass es nicht die Vereinigung von zwei kleineren Mengen ist, die in der Zariski-Topologie geschlossen sind), während andere dies nicht tun. Wenn die erstgenannte Konvention verwendet wird, werden nicht reduzierbare algebraische Varietäten als algebraische Mengen bezeichnet.
Der Begriff der Vielfalt ähnelt dem der Mannigfaltigkeit. Ein Unterschied zwischen einer Varietät und einer Mannigfaltigkeit besteht darin, dass eine Varietät einzelne Punkte haben kann, eine Mannigfaltigkeit hingegen nicht. Um das Jahr 1800 herum bewiesen, stellt der fundamentale Satz der Algebra eine Verbindung zwischen Algebra und Geometrie her, indem er zeigt, dass ein monisches Polynom in einer Variablen mit komplexen Koeffizienten (ein algebraisches Objekt) durch die Menge seiner Wurzeln (ein geometrisches Objekt) bestimmt wird. Dieses Ergebnis verallgemeinernd, bietet Hilberts Nullstellensatz eine grundlegende Übereinstimmung zwischen den Idealen polynomischer Ringe und algebraischer Mengen. Mit Hilfe des Nullstellensatzes und verwandter Ergebnisse haben Mathematiker eine starke Übereinstimmung zwischen Fragen zu algebraischen Mengen und Fragen der Ringtheorie hergestellt. Diese Korrespondenz ist die Spezifität der algebraischen Geometrie unter den anderen Teilgebieten der Geometrie.
