Algebraische Geometrie

Die algebraische Geometrie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit Polynomgleichungen befasst. Die moderne algebraische Geometrie basiert auf abstrakteren Techniken der abstrakten Algebra, insbesondere der kommutativen Algebra, mit der Sprache und den Problemen der Geometrie.

Die Hauptstudienobjekte der algebraischen Geometrie sind algebraische Varietäten, die geometrische Manifestationen von Lösungsmengen von Systemen von Polynomgleichungen sind. Beispiele für die am meisten untersuchten Klassen algebraischer Varietäten sind: ebene algebraische Kurven, zu denen Linien, Kreise, Parabeln, Ellipsen, Hyperbeln, kubische Kurven wie elliptische Kurven und quartäre Kurven wie Lemniskaten und Cassini-Ovale gehören. Ein Punkt der Ebene gehört zu einer algebraischen Kurve, wenn seine Koordinaten eine gegebene Polynomgleichung erfüllen. Grundlegende Fragen beinhalten die Untersuchung der Punkte von besonderem Interesse wie die singulären Punkte, die Wendepunkte und die Punkte im Unendlichen. Fortgeschrittenere Fragen betreffen die Topologie der Kurve und die Beziehungen zwischen den durch verschiedene Gleichungen gegebenen Kurven.

Die algebraische Geometrie nimmt in der modernen Mathematik einen zentralen Platz ein. Die Konzepte, die sie verwendet, verbinden sie mit so unterschiedlichen Bereichen wie der Komplexitätsanalyse, der Topologie und der Zahlentheorie. Am Anfang ging es in der algebraischen Geometrie darum, Systeme von Polynomgleichungen in mehreren Variablen zu studieren. Die algebraische Geometrie beginnt an dem Punkt, an dem das Lösen von Gleichungen aufhört: In vielen Fällen ist es wichtiger, die Eigenschaften zu finden, die alle Lösungen einer gegebenen Gleichungsmenge haben, als eine bestimmte Lösung zu finden: Dies führt in einige der tiefsten Bereiche der gesamten Mathematik, sowohl konzeptionell als auch technisch.

Im 20. Jahrhundert hat sich die algebraische Geometrie in mehrere Teilbereiche aufgeteilt.

Der Hauptstrom der algebraischen Geometrie widmet sich dem Studium der komplexen Punkte der algebraischen Varianten und allgemeiner den Punkten mit Koordinaten in einem algebraisch geschlossenen Feld.
Das Studium der Punkte einer algebraischen Sorte mit Koordinaten im Bereich der rationalen Zahlen oder in einem Zahlenfeld wurde arithmetische Geometrie (oder klassischer Diophantische Geometrie), ein Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie.
Die Untersuchung der realen Punkte einer algebraischen Variante ist Gegenstand der realen algebraischen Geometrie.
Ein großer Teil der Singularitätentheorie ist den Singularitäten algebraischer Varietäten gewidmet.
Als Computer immer mehr Verbreitung fanden, entwickelte sich ein Gebiet namens "Computeralgebraische Geomerie". Es befasst sich mit der Schnittmenge von algebraischer Geometrie und Computeralgebra. Es befasst sich mit der Entwicklung von Algorithmen und Software zur Untersuchung und zum Auffinden der Eigenschaften explizit gegebener algebraischer Varietäten.

Ein Großteil der Entwicklung des Hauptstroms der algebraischen Geometrie im 20. Jahrhundert fand in einem abstrakten algebraischen Rahmen statt, wobei der Schwerpunkt zunehmend auf "intrinsischen" Eigenschaften algebraischer Sorten gelegt wurde, die nicht von einer bestimmten Art der Einbettung der Sorte in einen umgebenden Koordinatenraum abhängig sind. Die Entwicklungen in der Topologie, der Differential- und der komplexen Geometrie verliefen weitgehend in gleicher Weise. Eine wichtige Errungenschaft dieser abstrakten algebraischen Geometrie ist die Grothendieck'sche Schema-Theorie, die es erlaubt, die Sheaf-Theorie zur Untersuchung algebraischer Varietäten in einer Weise zu verwenden, die ihrer Verwendung bei der Untersuchung von differentiellen und analytischen Mannigfaltigkeiten sehr ähnlich ist. Dies wird durch eine Erweiterung des Begriffs des Punktes erreicht: In der klassischen algebraischen Geometrie kann ein Punkt einer affinen Varietät durch Hilberts Nullstellensatz mit einem maximalen Ideal des Koordinatenrings identifiziert werden, während die Punkte des entsprechenden affinen Schemas alle primäre Ideale dieses Rings sind. Das bedeutet, dass ein Punkt eines solchen Schemas entweder ein gewöhnlicher Punkt oder eine Unterart sein kann. Dieser Ansatz ermöglicht auch eine Vereinheitlichung der Sprache und der Werkzeuge der klassischen algebraischen Geometrie, die sich hauptsächlich mit komplexen Punkten befasst, und der algebraischen Zahlentheorie. Wiles' Beweis der seit langem bestehenden Vermutung namens Fermats letzter Satz ist ein Beispiel für die Kraft dieses Ansatzes.

Diese Togliatti-Fläche ist eine algebraische Fläche vom fünften Grad. Das Bild stellt einen Teil ihres realen Ortes

Fragen und Antworten

F: Was ist algebraische Geometrie?

A: Die algebraische Geometrie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit polynomialen Gleichungen beschäftigt.

Q: Welche Techniken werden in der modernen algebraischen Geometrie verwendet?

A: Die moderne algebraische Geometrie verwendet abstraktere Techniken aus der abstrakten Algebra, wie z.B. die kommutative Algebra, um die Sprache und die Probleme der Geometrie zu behandeln.

F: Mit welchen Arten von Gleichungen beschäftigt sich die algebraische Geometrie?

A: Die algebraische Geometrie untersucht Polynomgleichungen.

F: Wie nutzt sie die abstrakte Algebra?

A: Sie verwendet die abstrakte Algebra, insbesondere die kommutative Algebra, um die Sprache und die Probleme der Geometrie zu verstehen.

F: Gibt es eine bestimmte Art von Sprache, die in diesem Bereich verwendet wird?

A: Ja, die moderne algebraische Geometrie verwendet die Sprache und die Probleme, die mit der Geometrie verbunden sind.

F: Wie hat sich die moderne Technologie auf dieses Gebiet ausgewirkt?

A: Die moderne Technologie hat es ermöglicht, fortschrittlichere Techniken aus der abstrakten Algebra für die Untersuchung von Polynomgleichungen in diesem Bereich zu verwenden.