Hyperbel (Mathematik)

Autor: Leandro Alegsa Erstellungsdatum: 3. November 2020

Eine Hyperbel ist eine Art konischer Schnitt. Wie die anderen drei Arten von Kegelschnitten - Parabeln, Ellipsen und Kreise - ist sie eine Kurve, die durch den Schnittpunkt eines Kegels mit einer Ebene gebildet wird. Eine Hyperbel entsteht, wenn die Ebene die beiden Hälften eines Doppelkegels schneidet, wodurch zwei Kurven entstehen, die genau gleich aussehen, sich aber in entgegengesetzte Richtungen öffnen. Dies tritt auf, wenn der Winkel zwischen der Achse des Kegels und der Ebene kleiner ist als der Winkel zwischen einer Linie auf der Seite des Kegels und der Ebene.

Hyperbeln sind an vielen Orten in der Natur zu finden. Zum Beispiel kann sich ein Objekt auf einer offenen Umlaufbahn um ein anderes Objekt - auf der es nie zurückkehrt - in Form einer Hyperbel bewegen. Bei einer Sonnenuhr ist der Weg, den die Schattenspitze mit der Zeit zurücklegt, eine Hyperbel.

Eine der bekanntesten Hyperbeln ist der Graph der Gleichung f ( x ) = 1 / x {\Darstellungsstil f(x)=1/x} $f(x)=1/x$ .

Eine Hyperbel ist der Schnittpunkt zwischen den beiden Hälften eines Doppelkegels und einer Ebene.

Definitionen und Gleichungen

Die beiden unverbundenen Kurven, die eine Hyperbel bilden, werden als Arme oder Äste bezeichnet.

Die beiden Punkte, an denen die Zweige am nächsten beieinander liegen, werden als Eckpunkte bezeichnet. Die Linie zwischen diesen beiden Punkten wird als Querachse oder Hauptachse bezeichnet. Der Mittelpunkt der Querachse ist der Mittelpunkt der Hyperbel.

In großer Entfernung vom Zentrum nähern sich die Äste der Hyperbel zwei Geraden. Diese beiden Linien nennt man die Asymptoten. Mit zunehmendem Abstand vom Zentrum nähert sich die Hyperbel den Asymptoten immer mehr an, schneidet sie aber nie.

Die konjugierte Achse oder Nebenachse steht senkrecht oder in einem rechten Winkel zur Querachse. Die Endpunkte der konjugierten Achse befinden sich auf der Höhe, wo ein Segment, das den Scheitelpunkt schneidet und senkrecht zur Querachse steht, die Asymptoten schneidet.

Eine Hyperbel, die ein Zentrum im Ursprung des kartesischen Koordinatensystems hat, das der Punkt (0,0) ist, und eine Querachse auf der x-Achse hat, kann als Gleichung geschrieben werden

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. {\darstellungsstil {\frac {x^{2}}{a^{2}}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}=1.} ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

a ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem Scheitelpunkt. Die Länge der Querachse ist gleich 2a. b ist die Länge eines senkrechten Liniensegments von einem Scheitelpunkt zu einer Asymptote. Die Länge der konjugierten Achse ist gleich 2b.

Die beiden Äste des obigen Hyperbeltyps öffnen sich nach links und rechts. Wenn sich die Zweige nach oben und unten öffnen und die Querachse auf der y-Achse liegt, dann kann die Hyperbel als die Gleichung geschrieben werden

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1. {\darstellungsstil {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}}=1.} ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1.$

Grafik einer Hyperbel (rote Kurven). Die Asymptoten sind als blau gestrichelte Linien dargestellt. Das Zentrum ist mit C bezeichnet und die beiden Scheitelpunkte befinden sich bei -a und a. Die Brennpunkte sind mit F1 und F2 bezeichnet.

Hyperbolische Flugbahn

Eine hyperbolische Flugbahn ist die Flugbahn, der ein Objekt folgt, wenn seine Geschwindigkeit größer ist als die Fluchtgeschwindigkeit eines Planeten, Satelliten oder Sterns. Das bedeutet, dass seine orbitale Exzentrizität größer als 1 ist. Beispielsweise nähern sich Meteore auf einer hyperbolischen Flugbahn, und interplanetare Raumsonden fliegen auf einer solchen Bahn ab.

Fragen und Antworten

F: Was ist eine Hyperbel?

A: Eine Hyperbel ist eine Art Kegelschnitt, d.h. eine Kurve, die durch den Schnittpunkt eines Kegels mit einer Ebene entsteht. Sie entsteht, wenn die Ebene die beiden Hälften eines Doppelkegels schneidet. Dabei entstehen zwei Kurven, die genau gleich aussehen, sich aber in entgegengesetzte Richtungen öffnen.

F: Wie wird eine Hyperbel erstellt?

A: Eine Hyperbel entsteht, wenn die Ebene die beiden Hälften eines Doppelkegels schneidet. Dabei entstehen zwei Kurven, die genau gleich aussehen, sich aber in entgegengesetzte Richtungen öffnen. Dies geschieht, wenn der Winkel zwischen der Achse des Kegels und der Ebene kleiner ist als der Winkel zwischen einer Linie an der Seite des Kegels und der Ebene.

F: Wo können wir Beispiele für Hyperbeln in der Natur finden?

A: Hyperbeln können an vielen Stellen in der Natur gefunden werden. Ein Objekt, das sich in einer offenen Umlaufbahn um ein anderes Objekt befindet und nicht zurückkehrt, kann sich beispielsweise in Form einer Hyperbel bewegen. Auf einer Sonnenuhr hat der Weg, dem die Spitze des Schattens im Laufe der Zeit folgt, ebenfalls die Form einer Hyperbel.

F: Welche Gleichung beschreibt ein bekanntes Beispiel für eine Hyperbel?

A: Ein bekanntes Beispiel für eine Gleichung, die eine Hyperbel beschreibt, ist f(x)=1/x .

Q: Welche anderen Arten von Kegelschnitten gibt es außer Hyperbeln?

A: Andere Arten von Kegelschnitten sind Parabeln, Ellipsen und Kreise.

Q: Wie unterscheiden sich diese verschiedenen Typen voneinander?

A: Parabeln sind U-förmige Kurven mit einem Scheitelpunkt; Ellipsen sind ovale Formen mit zwei Brennpunkten; Kreise haben keine Scheitel- oder Brennpunkte; und Hyperbeln schließlich haben zwei separate gekrümmte Linien, die sich von ihrem Mittelpunkt aus in unterschiedlichen Winkeln nach außen öffnen.