Zermelo‑Fraenkel‑Mengenlehre (ZF) und ZFC: Grundlagen, Geschichte und Bedeutung

Ein Axiom ist eine Aussage, die ohne Frage akzeptiert wird und für die es keinen Beweis gibt. ZF enthält acht Axiome.

1. Das Axiom der Ausdehnung besagt, dass zwei Mengen gleich sind, wenn und nur wenn sie die gleichen Elemente haben. Zum Beispiel ist die Menge { 1 , 3 } {\displaystyle \{1,3\}} und der Satz { 3 , 1 } {\displaystyle \{3,1\}} sind gleich.
2. Das Gründungsaxiom besagt, dass jede Menge S den Anzeigestil S (außer der leeren Menge) ein Element enthält, das disjunkt ist (keine Mitglieder teilt) mit S {\darstellungsstil S} .
3. Das Spezifikationsaxiom besagt, dass bei einer Menge S {\Darstellungsstil S} und ein Prädikat F {\darstellungsstil F} (eine Funktion, die entweder wahr oder falsch ist), dass eine Menge existiert, die genau die Elemente von S {\Anzeigestil S} enthält, bei denen F {\Anzeigestil F} wahr ist. Zum Beispiel, wenn S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} , und F {\darstellungsstil F} ist "dies ist eine gerade Zahl", dann besagt das Axiom, dass die Menge { 2 , 6 } {\an8}Darstellungsstil {\{\2,6\}} existiert.
4. Das Axiom der Paarung besagt, dass es bei zwei gegebenen Mengen eine Menge gibt, deren Mitglieder genau die beiden gegebenen Mengen sind. Wenn also die beiden Mengen { 0 , 3 } gegeben sind {\augenblick \{0,3\}} und { 2 , 5 } {\a6}Anzeige-Stil {\a6} dieses Axiom besagt, dass die Menge { { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\\{\{\{\{\{\{\},\{\{\}},\{\{\2,5\}\}} existiert.
5. Das Einheitsaxiom besagt, dass es für jede Menge eine Menge gibt, die nur aus den Elementen der Elemente dieser Menge besteht. Wenn man zum Beispiel die Menge { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} Dieses Axiom besagt, dass die Menge { 0 , 3 , 2 , 5 } {\Anzeigestil \{0,3,2,5\}} existiert.
6. Das Ersetzungsaxiom besagt, dass für eine beliebige Menge S {\Anzeigestil S} und eine Funktion F {\Anzeigestil F} dass die Menge, die aus den Ergebnissen des Aufrufs von F {\Darstellungsstil F} auf allen Mitgliedern von S {\Darstellungsstil S} besteht, existiert. Zum Beispiel, wenn S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\Anzeigestil S=\{1,2,3,5,6\}} und F {\Anzeigestil F} ist "addiere zehn zu dieser Zahl", dann besagt das Axiom, dass die Menge { 11 , 12 , 13 , 15 , 16 } {\Anzeigestil \{11,12,13,15,16\}} existiert.
7. Das Unendlichkeitsaxiom besagt, dass die Menge aller ganzen Zahlen (wie durch die Von-Neumann-Konstruktion definiert) existiert. Dies ist die Menge { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . } {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}
8. Das Axiom der Potenzmenge besagt, dass die Potenzmenge (die Menge aller Teilmengen) einer beliebigen Menge existiert. Zum Beispiel ist die Potenzmenge von { 2 , 5 } Anzeigeart {\2,5\} ist { { } , { 2 } , { 5 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}}

Das Axiom der Wahl besagt, dass es möglich ist, aus jedem der Elemente einer Menge ein Objekt herauszunehmen und eine neue Menge zu bilden. Wenn man beispielsweise die Menge { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} würde das Axiom der Wahl zeigen, dass eine Menge wie { 3 , 5 } {\an8}Darstellungsstil {\{\3,5\}} existiert. Dieses Axiom kann aus den anderen Axiomen für endliche Mengen nachgewiesen werden, aber nicht für unendliche Mengen.