Grahams Zahl
Grahams Zahl ist eine sehr große natürliche Zahl, die von einem Mann namens Ronald Graham definiert wurde. Graham löste ein Problem auf einem Gebiet der Mathematik namens Ramsey-Theorie. Er bewies, dass die Antwort auf sein Problem kleiner war als Grahams Zahl.
Grahams Zahl ist eine der größten Zahlen, die je in einem mathematischen Beweis verwendet wurde. Selbst wenn jede Ziffer in Grahams Zahl in der kleinstmöglichen Schrift geschrieben wäre, wäre sie immer noch zu groß, um in das beobachtbare Universum zu passen.
Kontext
Die Ramsey-Theorie ist ein Bereich der Mathematik, der Fragen wie die folgenden stellt:
Angenommen, wir zeichnen eine bestimmte Anzahl von Punkten und verbinden jedes Punktepaar durch eine Linie. Einige Linien sind blau und andere rot. Können wir immer 3 Punkte finden, bei denen die 3 Linien, die sie verbinden, alle die gleiche Farbe haben?
Es stellt sich heraus, dass für dieses einfache Problem die Antwort "ja" lautet, wenn wir 6 oder mehr Punkte haben, egal wie die Linien gefärbt sind. Aber wenn wir 5 Punkte oder weniger haben, können wir die Linien so einfärben, dass die Antwort "nein" lautet.
Grahams Zahl stammt aus einer Variation dieser Frage.
Noch einmal, sagen wir, wir haben einige Punkte, aber jetzt sind es die Ecken eines n-dimensionalen Hyperwürfels. Sie sind immer noch alle durch blaue und rote Linien verbunden. Für 4 beliebige Punkte gibt es 6 Linien, die sie verbinden. Können wir 4 Punkte finden, die alle auf einer Ebene liegen, und die 6 Linien, die sie verbinden, haben alle die gleiche Farbe?
Indem wir gefordert haben, dass die 4 Punkte auf einem Flugzeug liegen, haben wir das Problem viel schwieriger gemacht. Wir möchten wissen: Für welche Werte von n ist die Antwort "nein" (für eine bestimmte Art der Einfärbung der Linien), und für welche Werte von n ist es "ja" (für alle Arten der Einfärbung der Linien)? Aber dieses Problem ist noch nicht vollständig gelöst.
1971 fanden Ronald Graham und B. L. Rothschild eine Teilantwort auf dieses Problem. Sie zeigten, dass für n=6 die Antwort "nein" lautet. Aber wenn n sehr groß ist, so groß wie Grahams Zahl oder größer, lautet die Antwort "ja".
Einer der Gründe, warum diese Teilantwort wichtig ist, liegt darin, dass sie bedeutet, dass die Antwort letztendlich "ja" lautet, zumindest für einige große n. Vor 1971 wussten wir nicht einmal so viel.
Definition
Grahams Zahl ist nicht nur zu groß, um alle seine Ziffern aufzuschreiben, sie ist sogar zu groß, um sie in wissenschaftlicher Notation zu schreiben. Um sie aufschreiben zu können, müssen wir Knuths Pfeil-nach-oben-Notation verwenden.
Wir werden eine Zahlenfolge aufschreiben, die wir g1, g2, g3 und so weiter nennen werden. Jede dieser Zahlen wird in einer Gleichung verwendet, um die nächste zu finden. g64 ist Grahams Zahl.
Zunächst sind hier einige Beispiele für Aufwärtspfeile aufgeführt:
- 3 ↑ 3 {\Anzeigestil 3\Pfeil 3}
ist 3x3x3, was 27 entspricht. Ein Pfeil zwischen zwei Zahlen bedeutet einfach die erste Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, und die zweite Anzahl von Malen. - Man kann sich 3 ↑↑ 3 {\Darstellungsstil 3\Pfeil \Pfeil 3}
als 3 ↑ ( 3 ↑ 3 ) {\Darstellungsstil 3\Pfeil (3\Pfeil 3)} vorstellen
, denn zwei Pfeile zwischen den Zahlen A und B bedeuten nur, dass A ein B mehrmals mit einem Pfeil zwischen jedem A notiert hat. Weil wir wissen, was Einzelpfeile sind, 3 ↑ ( 3 ↑ 3 ) {\Anzeigeart 3\Pfeil (3\Pfeil 3)} ist 3 multipliziert mit sich selbst 3 ↑ 3 {\Anzeigeart 3\Pfeil 3} mal und wir wissen 3 ↑ 3 {\Anzeigeart 3\Pfeil 3} ist siebenundzwanzig mal. Also 3 ↑↑ 3 {\Anzeigeart 3\Pfeil \Pfeil 3} ist 3x3x3x3x3x.... x3x3, insgesamt 27 mal. Das entspricht 7.625.597.484.987. - 3 ↑↑↑ 3 {\Darstellungsstil 3\Pfeil \Pfeil \Pfeil 3}
ist 3 ↑↑ ( 3 ↑↑ 3 ) {\Darstellungsstil 3\Pfeil \Pfeil (3\Pfeil \Pfeil 3)} 
und wir wissen 3 ↑↑ 3 {\Darstellungsstil 3\Pfeil \Pfeil 3} ist 7.625.597.484.987. Also 3 ↑↑ ( 3 ↑↑ 3 ) {\Anzeigestil 3\Pfeil \Pfeil (3\Pfeil \Pfeil 3)} ist 3 ↑↑ 7 , 625 , 597 , 484 , 987 {\Anzeigestil 3\Pfeil \Pfeil 7,625,597,484,987}
. Das kann auch geschrieben werden als 3 ↑ ( 3 ↑ ( 3 ↑ ( 3 ↑ ( 3 ↑ . . . ( 3 ↑ ( 3 ↑ ( 3 ↑ ( 3 ↑ 3 ) {\Darstellungsstil 3\Pfeil (3\Pfeil (3\Pfeil (3\Pfeil ...(3\Pfeil (3\Pfeil 3)} 
mit insgesamt 7,625,597,484,987 3s. Diese Zahl ist so groß, dass ihre Ziffern, selbst wenn sie sehr klein geschrieben sind, das beobachtbare Universum und darüber hinaus ausfüllen könnten. - Auch wenn diese Zahl schon unverständlich sein mag, ist dies kaum der Anfang dieser gigantischen Zahl.
- Der nächste Schritt wie dieser ist 3 ↑↑↑↑↑ 3 {\Anzeigeart 3\Pfeil \Pfeil \Pfeil \Pfeil 3}
oder 3 ↑↑↑ ( 3 ↑↑↑ 3 ) {\Anzeigeart 3\Pfeil \Pfeil \Pfeil \Pfeil (3\Pfeil \Pfeil \Pfeil 3)} 
. Dies ist die Nummer, die wir g1 anrufen werden.
Danach ist g2 gleich 3 ↑↑↑↑↑ ... ↑↑↑↑ 3 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \ldots \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}
; die Anzahl der Pfeile in dieser Zahl ist g1.
g3 ist gleich 3 ↑↑↑↑↑↑ ... ↑↑↑↑↑↑ 3 {\Darstellungsstil 3\Pfeil \Pfeil \Pfeil \Pfeil \Pfeil \Pfeil \Pfeil \Pfeil \Pfeil 3}
, wobei die Anzahl der Pfeile g2 ist.
Wir machen auf diese Weise weiter. Wir hören auf, wenn wir g64 als 3 definieren ↑↑↑↑↑↑↑ ... ↑↑↑↑↑↑ 3 {\Darstellungsstil 3\Pfeil \Pfeil \Pfeil \Pfeil \Pfeil \Pfeil \Pfeil \Pfeil \Pfeil 3} , wobei die Anzahl der Pfeile g63 ist.
Das ist die Nummer von Graham.
Verwandte Seiten
- Knuth's Aufwärts-Pfeil-Notation
Fragen und Antworten
F: Wer hat die Grahamsche Zahl definiert?
A: Ronald Graham definierte die Grahamsche Zahl.
F: In welchem Bereich der Mathematik war Ronald Graham tätig, als er die Zahl definierte?
A: Ronald Graham arbeitete in einem Bereich der Mathematik namens Ramsey-Theorie, als er die Zahl definierte.
F: Was hat Ronald Graham mit seinem Problem bewiesen?
A: Ronald Graham bewies, dass die Antwort auf sein Problem kleiner ist als die Grahamsche Zahl.
F: Wie groß ist die Grahamsche Zahl im Vergleich zu anderen Zahlen, die in mathematischen Beweisen verwendet werden?
A: Die Grahamsche Zahl ist eine der größten Zahlen, die jemals in einem mathematischen Beweis verwendet wurden.
F: Wenn man jede Ziffer der Zahl aufschreiben würde, würde sie dann in das beobachtbare Universum passen?
A: Selbst wenn jede Ziffer der Grahamschen Zahl in der kleinstmöglichen Schrift geschrieben wäre, wäre sie immer noch zu groß, um in das beobachtbare Universum zu passen.
F: Kann man irgendwie berechnen oder schätzen, wie groß diese Zahl ist?
A: Es gibt keine exakte Möglichkeit, die Größe dieser bestimmten natürlichen Zahl zu berechnen oder zu schätzen, da sie noch nicht vollständig bestimmt wurde.
F: Warum gibt es eine so große natürliche Zahl und welchen Zweck erfüllt sie?
A: Diese sehr große natürliche Zahl existiert, weil sie von Ronald Grahm als Teil eines mathematischen Beweises verwendet wurde und als obere Grenze für seine Lösung dient.
