Hyperwürfel
In der Geometrie ist ein Hyperwürfel ein n-dimensionales Analogon eines Quadrats (n = 2) und eines Würfels (n = 3). Es handelt sich um eine geschlossene, kompakte, konvexe Figur, deren 1-Skelett aus Gruppen gegenüberliegender paralleler Liniensegmente besteht, die in jeder der Raumdimensionen senkrecht zueinander und von gleicher Länge ausgerichtet sind. Die längste Diagonale eines Einheitshyperwürfels in der n-Dimension ist gleich n {\darstellungsstil {\sqrt {n}}} 
.
Ein n-dimensionaler Hyperwürfel wird auch als n-Würfel oder n-dimensionaler Würfel bezeichnet. Der Begriff "Messpolytop" wird ebenfalls verwendet, insbesondere in der Arbeit von H. S. M. Coxeter (ursprünglich aus Elte, 1912), aber er wurde inzwischen ersetzt.
Der Hyperwürfel ist der Spezialfall eines Hyperrechtecks (auch n-Orthotop genannt).
Ein Einheitshyperwürfel ist ein Hyperwürfel, dessen Seite eine Einheit lang ist. Häufig wird der Hyperwürfel, dessen Ecken (oder Scheitelpunkte) die 2n Punkte in Rn sind, wobei jede Koordinate gleich 0 oder 1 ist, als "der" Einheitshyperwürfel bezeichnet.
Konstruktion
Ein Hyperwürfel kann definiert werden, indem die Anzahl der Dimensionen einer Form erhöht wird:
0 - Ein Punkt ist ein Hyperwürfel der Dimension Null.
1 - Wenn man diesen Punkt um eine Einheitslänge verschiebt, fegt er ein Liniensegment aus, das ein Einheitshyperwürfel der Dimension Eins ist.
2 - Wenn man dieses Liniensegment in senkrechter Richtung von sich selbst wegbewegt; es streicht ein 2-dimensionales Quadrat aus.
3 - Wenn man das Quadrat um eine Einheitslänge in der Richtung senkrecht zu der Ebene, auf der es liegt, verschiebt, erzeugt man einen 3-dimensionalen Würfel.
4 - Wenn man den Würfel um eine Einheitslänge in die vierte Dimension verschiebt, erzeugt er einen 4-dimensionalen Einheitshyperwürfel (einen Einheitstesserakt).
Dies kann auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen verallgemeinert werden. Dieser Prozess des Ausfegens von Volumina lässt sich mathematisch als Minkowski-Summe formalisieren: Der d-dimensionale Hyperwürfel ist die Minkowski-Summe von d zueinander senkrechten Liniensegmenten von Einheitslänge und ist daher ein Beispiel für ein Zonotop.
Das 1-Skelett eines Hyperwürfels ist ein Hyperwürfel-Diagramm.
Ein Diagramm, das zeigt, wie man einen Tesserakt von einem Punkt aus erstellt.
Eine Animation, die zeigt, wie man von einem Punkt aus einen Tesserakt erzeugt.
Verwandte Seiten
- Simplex - das n-dimensionale Analogon des Dreiecks
- Hyperrechteck - der allgemeine Fall des Hyperwürfels, bei dem die Basis ein Rechteck ist.
Fragen und Antworten
F: Was ist ein Hyperwürfel?
A: Ein Hyperwürfel ist ein n-dimensionales Analogon zu einem Quadrat (n = 2) und einem Würfel (n = 3). Er ist eine geschlossene, kompakte, konvexe Figur, deren 1-Skelett aus Gruppen gegenüberliegender, paralleler Liniensegmente besteht, die in jeder der Raumdimensionen senkrecht zueinander ausgerichtet sind und die gleiche Länge haben.
F: Was ist die längste Diagonale in einem n-dimensionalen Hyperwürfel?
A: Die längste Diagonale in einem n-dimensionalen Hyperwürfel ist gleich n {\displaystyle {\sqrt {n}}.
Q: Gibt es einen anderen Begriff für einen n-dimensionalen Hyperwürfel?
A: Ein n-dimensionaler Hyperwürfel wird auch n-Würfel oder n-dimensionaler Würfel genannt. Der Begriff "Maßpolytop" wurde ebenfalls verwendet, ist aber inzwischen überholt.
F: Was bedeutet "Einheitshyperwürfel"?
A: Ein Einheitshyperwürfel ist ein Hyperwürfel, dessen Seitenlänge eine Einheit beträgt. Oft bezieht sich der Einheits-Hyperwürfel auf den speziellen Fall, dass alle Ecken die Koordinaten 0 oder 1 haben.
F: Wie können wir ein "Hyperrechteck" definieren?
A: Ein Hyperrechteck (auch n-Orthotop genannt) ist als der allgemeine Fall eines Hyperwürfels definiert.
