Gesetz der großen Zahlen
Das Gesetz der großen Zahlen (LLN) ist ein Satz aus der Statistik. Betrachten wir einen Prozess, bei dem zufällige Ergebnisse auftreten. Zum Beispiel wird eine Zufallsvariable wiederholt beobachtet. Dann ist der Durchschnitt der beobachteten Werte auf lange Sicht stabil. Das bedeutet, dass der Mittelwert der beobachteten Werte auf lange Sicht immer näher an den erwarteten Wert heranrücken wird.
Wenn gewürfelt wird, sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 mögliche Ergebnisse. Sie sind alle gleich wahrscheinlich. Der Bevölkerungsmittelwert (oder "Erwartungswert") der Ergebnisse ist:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.
Die folgende Grafik zeigt die Ergebnisse eines Versuchs mit Würfeln. In diesem Experiment kann man sehen, dass der Durchschnitt der Würfelwürfe zunächst stark variiert. Wie von der LLN vorhergesagt, stabilisiert sich der Durchschnitt um den erwarteten Wert von 3,5, wenn die Anzahl der Beobachtungen groß wird.
Geschichte
Jacob Bernoulli beschrieb zunächst die LLN. Er sagt, sie sei so einfach, dass selbst der dümmste Mensch instinktiv weiß, dass sie wahr ist. Trotzdem dauerte es über 20 Jahre, bis er einen guten mathematischen Beweis entwickelt hatte. Nachdem er ihn gefunden hatte, veröffentlichte er den Beweis 1713 in Ars Conjectandi (Die Kunst des Konjezierens). Er nannte dies sein "Goldenes Theorem". Es wurde allgemein bekannt als "Bernoulli's Theorem" (nicht zu verwechseln mit dem gleichnamigen Gesetz in der Physik). 1835 beschrieb S.D.Poisson es weiter unter dem Namen "La loi des grands nombres" (Das Gesetz der großen Zahlen). Danach war es unter beiden Namen bekannt, aber das "Gesetz der großen Zahlen" wird am häufigsten verwendet.
Auch andere Mathematiker trugen dazu bei, das Gesetz zu verbessern. Einige von ihnen waren Tschebyschow, Markow, Borel, Cantelli und Kolmogorow. Nach diesen Studien gibt es nun zwei verschiedene Formen des Rechts: Die eine wird das "schwache" Gesetz und die andere das "starke" Gesetz genannt. Diese Formen beschreiben keine unterschiedlichen Gesetze. Sie haben unterschiedliche Möglichkeiten, die Konvergenz der beobachteten oder gemessenen Wahrscheinlichkeit mit der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit zu beschreiben. Die starke Form des Gesetzes impliziert die schwache Form.
Fragen und Antworten
F: Was ist das Gesetz der großen Zahlen?
A: Das Gesetz der großen Zahlen ist ein statistisches Theorem, das besagt, dass, wenn ein Zufallsprozess wiederholt beobachtet wird, der Durchschnitt der beobachteten Werte langfristig stabil ist.
F: Was bedeutet das Gesetz der großen Zahlen?
A: Das Gesetz der großen Zahlen bedeutet, dass sich der Durchschnitt der beobachteten Werte mit zunehmender Anzahl der Beobachtungen immer mehr dem erwarteten Wert annähert.
F: Was ist ein erwarteter Wert?
A: Ein Erwartungswert ist der Populationsmittelwert der Ergebnisse eines Zufallsprozesses.
F: Was ist der Erwartungswert beim Würfeln?
A: Der Erwartungswert eines Würfels ist die Summe der möglichen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der Ergebnisse: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.
F: Was zeigt das Diagramm im Text in Bezug auf das Gesetz der großen Zahlen?
A: Die Grafik zeigt, dass der Durchschnitt der Würfelwürfe zunächst stark schwankt, aber wie vom LLN vorhergesagt, stabilisiert sich der Durchschnitt um den erwarteten Wert von 3,5, wenn die Anzahl der Beobachtungen groß wird.
F: Wie lässt sich das Gesetz der großen Zahlen auf das Würfeln anwenden?
A: Das Gesetz der großen Zahlen gilt für das Würfeln, denn mit zunehmender Anzahl der Würfe nähert sich der Durchschnitt der Würfe immer mehr dem erwarteten Wert von 3,5.
F: Warum ist das Gesetz der großen Zahlen in der Statistik wichtig?
A: Das Gesetz der großen Zahlen ist in der Statistik wichtig, weil es eine theoretische Grundlage für die Vorstellung liefert, dass Daten dazu neigen, sich über eine große Anzahl von Beobachtungen zu mitteln. Es ist die Grundlage für viele statistische Methoden, wie z.B. Konfidenzintervalle und Hypothesentests.
