Quadratwurzel aus 2

Die Quadratwurzel von 2 oder die (1/2)-te Potenz von 2, in der Mathematik geschrieben als √2 oder 21⁄2, ist die positive irrationale Zahl, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, der Zahl 2 entspricht. Um korrekter zu sein, wird sie die Hauptquadratwurzel von 2 genannt, um sie von der negativen Version ihrer selbst zu unterscheiden, wo dies ebenfalls zutrifft.

Geometrisch ist die Quadratwurzel aus 2 die Länge einer Diagonalen über ein Quadrat mit Seitenlängen von eins; dies kann mit dem Satz des Pythagoras gefunden werden.

Die Quadratwurzel aus 2 ist gleich der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Schenkeln der Länge 1
Die Quadratwurzel aus 2 ist gleich der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Schenkeln der Länge 1

Beweis, dass die Quadratwurzel aus 2 nicht rational ist

Die Zahl 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} {\displaystyle {\sqrt {2}}}ist nicht rational. Hier ist der Beweis.

  1. Nehmen Sie an, dass 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} {\displaystyle {\sqrt {2}}}rational ist. Es gibt also einige Zahlen a , b {\darstellungsstil a,b}{\displaystyle a,b}, so dass a / b = 2 {\darstellungsstil a/b={\sqrt {2}}} {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}}.
  2. Wir können a und b so wählen, dass entweder a oder b ungerade ist. Wenn a und b beide gerade wären, könnte der Bruch vereinfacht werden (z.B. anstatt 2 4 {\displaystyle {\frac {\frac {2}{4}}}} zu schreiben {\displaystyle {\frac {2}{4}}}könnten wir {\displaystyle {\frac {1}{2}}}stattdessen 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}) schreiben.
  3. Wenn beide Seiten der Gleichung quadriert werden, dann erhalten wir a2 / b2 = 2 und a2 = 2 b2.
  4. Die rechte Seite ist 2 b 2 {\Anzeigestil 2b^{2}} {\displaystyle 2b^{2}}. Diese Zahl ist gerade. Also muss auch die linke Seite gerade sein. Eine 2 {\Darstellungsart a^{2}}{\displaystyle a^{2}} ist also gerade. Wenn eine ungerade Zahl quadriert wird, dann ist eine ungerade Zahl das Ergebnis. Und wenn eine gerade Zahl quadriert wird, dann wäre auch eine gerade Zahl das Ergebnis. Eine {\Darstellungsart a}a ist also gerade.
  5. Da a gerade ist, kann es geschrieben werden als: a = 2 k {\Darstellungsstil a=2k} {\displaystyle a=2k}.
  6. Es wird die Gleichung aus Schritt 3 verwendet. Wir erhalten 2b2 = (2k)2
  7. Eine Potenzierungsregel kann verwendet werden (siehe Artikel) - das Ergebnis ist 2 b 2 = 4 k 2 {\darstellungsstil 2b^{2}=4k^{2}}} {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}.
  8. Beide Seiten werden durch 2 geteilt, also b 2 = 2 k 2 {\Darstellungsstil b^{2}=2k^{2}} {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}. Dies bedeutet, dass b {\Anzeigestil b}{\displaystyle b} gerade ist.
  9. In Schritt 2 haben wir gesagt, dass a ungerade ist oder b ungerade ist. Aber in Schritt 4 haben wir gesagt, dass a gerade ist, und in Schritt 7 haben wir gesagt, dass b gerade ist. Wenn die Annahme, die wir in Schritt 1 gemacht haben, wahr ist, dann müssen all diese anderen Dinge wahr sein, aber da sie nicht miteinander übereinstimmen, können sie nicht alle wahr sein; das bedeutet, dass unsere Annahme nicht wahr ist.

Es ist nicht wahr, dass 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} eine rationale Zahl ist.{\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 {\darstellungsstil {\sqrt {2}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} ist also irrational.

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