Zentraler Grenzwertsatz

Autor: Leandro Alegsa

03-11-2020

Die zentralen Grenzwertsätze sind Theoreme der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie besagen, dass bei einer großen Anzahl von unabhängigen Zufallsvariablen deren Summe einer stabilen Verteilung folgt. Wenn die Varianz der Zufallsvariablen endlich ist, ergibt sich eine Gaußsche Verteilung. Dies ist einer der Gründe, warum diese Verteilung auch als Normalverteilung bezeichnet wird.

Das bekannteste und wichtigste dieser Theorien ist das zentrale Grenzwertsatz. Es handelt sich um eine große Anzahl von Zufallsvariablen mit der gleichen Verteilung und mit einer endlichen Varianz und einem Erwartungswert.

Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen dieses Satzes. Einige dieser Verallgemeinerungen erfordern nicht mehr eine identische Verteilung aller Zufallsvariablen. Bei diesen Verallgemeinerungen sorgt eine weitere Voraussetzung dafür, dass keine einzelne Zufallsvariable einen größeren Einfluss auf das Ergebnis hat als die anderen. Beispiele sind die Lindeberg- und die Lyapunov-Bedingung.

Der Name des Theorems basiert auf einem Aufsatz von George Pólya aus dem Jahr 1920, Über den zentralen Grenzwertsatz in der Wahrscheinlichkeitstheorie und das Momentproblem.

Fragen und Antworten

F: Was ist der zentrale Grenzwertsatz?

A: Der zentrale Grenzwertsatz (CLT) ist ein Theorem über das Grenzverhalten von aggregierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Es besagt, dass bei einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen die Summe dieser Variablen einer stabilen Verteilung folgen wird. Wenn die Varianz der Zufallsvariablen endlich ist, dann ergibt sich eine Gaußsche Verteilung.

F: Wer hat das Papier geschrieben, auf dem dieses Theorem basiert?

A: George Pَlya schrieb 1920 das Papier "About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment Problem", das als Grundlage für dieses Theorem diente.

F: Welche Art der Verteilung ergibt sich, wenn alle Zufallsvariablen eine endliche Varianz haben?

A: Wenn alle Zufallsvariablen eine endliche Varianz haben, ergibt sich aus der Anwendung der CLT eine Gaußsche oder normale Verteilung.

F: Gibt es irgendwelche Verallgemeinerungen der CLT?

A: Ja, es gibt verschiedene Verallgemeinerungen der CLT, die nicht mehr eine identische Verteilung aller Zufallsvariablen erfordern. Zu diesen Verallgemeinerungen gehören die Lindeberg- und Lyapunov-Bedingungen, die sicherstellen, dass keine einzelne Zufallsvariable einen größeren Einfluss auf das Ergebnis hat als andere.

F: Wie funktionieren diese Verallgemeinerungen?

A: Diese Verallgemeinerungen stellen sicher, dass keine einzelne Zufallsvariable einen größeren Einfluss als andere auf das Ergebnis hat, indem sie zusätzliche Voraussetzungen wie die Lindeberg- und Lyapunov-Bedingungen einführen.

F: Was sagt die CLT über den Stichprobenmittelwert und die Summe einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen mit gleicher Verteilung?

A: Laut CLT, wenn n identische und unabhängig verteilte Zufallsvariablen mit Mittelwert ى {\displaystyle \mu } und Standardabweichung َ {\displaystyle \sigma } , dann wird ihr Stichprobenmittelwert (X1+...+Xn)/n annähernd normal sein mit Mittelwert ى {\displaystyle \mu } und Standardabweichung َ/√n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}} . Darüber hinaus wird ihre Summe X1+...+Xn ebenfalls annähernd normal sein mit Mittelwert nى {\displaystyle n\mu } und Standardabweichung √nَ {\displaystyle {\sqrt {n}}\sigma } .