Kombiniertes Gasrecht

Das kombinierte Gasgesetz ist eine Formel über idealeGase. Es entsteht aus der Kombination von drei verschiedenen Gesetzen über Druck, Volumen und Temperatur des Gases. Sie erklären, was mit zwei der Werte dieses Gases geschieht, während der dritte gleich bleibt. Die drei Gesetze sind:

Das Charles'sche Gesetz, das besagt, dass Volumen und Temperatur direkt proportional zueinander sind, solange der Druck gleich bleibt.
Das Boyle'sche Gesetz besagt, dass Druck und Volumen bei gleicher Temperatur umgekehrt proportional zueinander sind.
Das Gesetz von Gay-Lussac besagt, dass Temperatur und Druck direkt proportional sind, solange das Volumen gleich bleibt.

Das kombinierte Gasgesetz zeigt, wie die drei Variablen miteinander in Beziehung stehen. Das besagt es:

Die Formel des kombinierten Gasgesetzes lautet:

P V T = k {\Anzeigestil \qquad {\frac {PV}{T}}}=k} $\qquad {\frac {PV}{T}}=k$

wo:

$P$ ist der Druck

$V$ ist das Volumen

$T$ ist die in Kelvin gemessene Temperatur

$k$ ist eine Konstante (mit Einheiten der Energie geteilt durch die Temperatur).

Um das gleiche Gas mit zwei dieser Fälle zu vergleichen, kann das Gesetz so geschrieben werden:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2 {\Anzeigestil \qquad {\frac {P_{1}V_{1}}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}}{T_{2}}}} $\qquad {\frac {P_{1}V_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}$

Wenn wir das Gesetz von Avogadro zum kombinierten Gasgesetz hinzufügen, erhalten wir das so genannte ideale Gasgesetz.

Ableitung aus den Gasgesetzen

Das Boyle'sche Gesetz besagt, dass das Druck-Volumen-Produkt konstant ist:

P V = k 1 ( 1 ) {\Anzeigestil PV=k_{1}\qquad (1)} $PV=k_{1}\qquad (1)$

Das Charles'sche Gesetz zeigt, dass das Volumen proportional zur absoluten Temperatur ist:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}}=k_{2}\qquad (2)} ${\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)$

Das Gay-Lussac'sche Gesetz besagt, dass der Druck proportional zur absoluten Temperatur ist:

P = k 3 T ( 3 ) {\Anzeigestil P=k_{3}T\qquad (3)} $P=k_{3}T\qquad (3)$

wobei P der Druck, V das Volumen und T die absolute Temperatur eines idealen Gases ist.

Durch Kombination von (1) und entweder (2) oder (3) können wir eine neue Gleichung mit P, V und T erhalten. Wenn wir Gleichung (1) durch die Temperatur dividieren und Gleichung (2) mit dem Druck multiplizieren, erhalten wir eine neue Gleichung:

P V T T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}} ${\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}$

P V T = k 2 ( P ) P {\Anzeigestil {\frac {PV}{T}}}=k_{2}(P)P} ${\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P$ .

Da die linke Seite beider Gleichungen die gleiche ist, kommen wir zu

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\Anzeigestil {\frac {k_{1}(T)}{T}}}=k_{2}(P)P} ${\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P$ ,

was bedeutet, dass

P V T = Konstante {\displaystyle {\frac {PV}{T}}}={\textrm {konstant}}}} ${\frac {PV}{T}}={\textrm {constant}}$ .

Die Substitution im Avogadro'schen Gesetz ergibt die ideale Gasgleichung.

Physikalische Ableitung

Eine Ableitung des kombinierten Gasgesetzes mit nur elementarer Algebra kann Überraschungen enthalten. Zum Beispiel, ausgehend von den drei empirischen Gesetzen

P = k V T {\Anzeigeart P=k_{V}\,T\,\! } $P=k_{V}\,T\,\!$ (1) Gay-Lussac'sches Gesetz, Volumen als konstant angenommen

V = k P T T {\darstellungsstil V=k_{P}T\,\,\! } $V=k_{P}T\,\!$ (2) Charles'sches Gesetz, Druck als konstant angenommen

P V = k T {\Anzeigeart PV=k_{T}\,\! } $PV=k_{T}\,\!$ (3) Boyle'sches Gesetz, angenommene Temperatur konstant

wobei kV, kP und kT die Konstanten sind, kann man die drei miteinander multiplizieren, um Folgendes zu erhalten

P V P P V = k V T k P T k P T k T {\Anzeigeart PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\! } $PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\!$

Die Quadratwurzel beider Seiten und die Division durch T scheint das gewünschte Ergebnis zu ergeben

P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{V}k_{T}}}\,\! } ${\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}\,\!$

Wenn man jedoch vor der Anwendung des obigen Verfahrens lediglich die Begriffe im Boyle'schen Gesetz, kT = PV, neu anordnet, erhält man nach dem Löschen und Neuanordnen

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}}=T^{2}\,\! } ${\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\!$

was nicht sehr hilfreich, wenn nicht sogar irreführend ist.

Eine physikalische Ableitung, die zwar länger, aber zuverlässiger ist, beginnt mit der Erkenntnis, dass sich der Parameter des konstanten Volumens im Gay-Lussac'schen Gesetz mit der Änderung des Systemvolumens ändert. Bei konstantem Volumen V1 könnte das Gesetz P = k1T erscheinen, während es bei konstantem Volumen _V2 P = k2T erscheinen könnte. Bezeichnen Sie dieses "variable konstante Volumen" mit kV(V) und schreiben Sie das Gesetz um als

P = k V ( V ) T {\Anzeigestil P=k_{V}(V)\,T\,\! } $P=k_{V}(V)\,T\,\!$ (4)

Dieselbe Überlegung gilt für die Konstante im Gesetz von Charles, die umgeschrieben werden kann

V = k P ( P ) T {\Anzeigestil V=k_{P}(P)\,T\,\! } $V=k_{P}(P)\,T\,\!$ (5)

Bei der Suche nach kV(V) sollte man T zwischen (4) und (5) nicht gedankenlos eliminieren, da P im ersten Fall variiert, während es im zweiten Fall als konstant angenommen wird. Vielmehr sollte zunächst festgestellt werden, in welchem Sinne diese Gleichungen miteinander kompatibel sind. Um einen Einblick in diese Frage zu erhalten, erinnern Sie sich daran, dass zwei beliebige Variablen die dritte bestimmen. Wenn wir P und V als unabhängig wählen, stellen wir uns die T-Werte vor, die eine Fläche über der PV-Ebene bilden. Ein definitives V0 und P0 definieren einen T0, einen Punkt auf dieser Fläche. Das Ersetzen dieser Werte in (4) und (5) und die Neuanordnung ergibt

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\Anzeigestil T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad und\quad T_{{0}={\frac {V_{0}}}{k_{P}(P_{0})}}} $T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad and\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}$

Da beide beschreiben, was am selben Punkt auf der Oberfläche geschieht, können die beiden numerischen Ausdrücke gleichgesetzt und neu angeordnet werden

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\darstellungsstil {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}}={\frac {P_{0}}}{V_{0}}}\,\! } ${\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}\,\!$ (6)

Beachten Sie, dass 1/kV(V0) und 1/kP(P0) die Steigungen der orthogonalen Linien parallel zur P-Achse/V-Achse und durch diesen Punkt auf der Oberfläche oberhalb der PV-Ebene sind. Das Verhältnis der Steigungen dieser beiden Linien hängt nur von dem Wert von P0/V0 an diesem Punkt ab.

Beachten Sie, dass die Funktionsform von (6) nicht von dem gewählten Punkt abhängt. Die gleiche Formel hätte sich für jede andere Kombination von P- und V-Werten ergeben. Daher kann man schreiben

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \forall P,\forall V} ${\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \forall P,\forall V$ (7)

Dies besagt, dass jeder Punkt auf der Oberfläche von einem eigenen Paar orthogonaler Linien durchzogen wird, deren Steigungsverhältnis nur von diesem Punkt abhängt. Während (6) eine Beziehung zwischen spezifischen Steigungen und variablen Werten ist, ist (7) eine Beziehung zwischen Steigungsfunktionen und Funktionsvariablen. Sie gilt für jeden Punkt auf der Oberfläche, d.h. für jede beliebige Kombination von P- und V-Werten. Um diese Gleichung für die Funktion kV(V) zu lösen, trennen Sie zunächst die Variablen, V auf der linken und P auf der rechten Seite.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\Anzeigeart V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)} $V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)$

Wählen Sie einen beliebigen Druck P1. Die rechte Seite wertet zu einem beliebigen Wert aus, nennen Sie ihn karb.

V k V ( V ) = k arb {\darstellungsstil V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\! } $V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\!$ (8)

Diese spezielle Gleichung muss nun gelten, nicht nur für einen Wert von V, sondern für alle Werte von V. Die einzige Definition von kV(V), die dies für alle V und willkürlichen karb garantiert, ist

k V ( V ) = k arb V {\Anzeigestil k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}}}} $k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}}$ (9)

die durch Ersetzung in (8) verifiziert werden kann.

Schließlich ergibt die Ersetzung (9) im Gay-Lussac-Gesetz (4) und die Neuordnung das kombinierte Gasgesetz

P V T T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}}=k_{\text{arb}}\,\! } ${\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\!$

Beachten Sie, dass das Boylesche Gesetz bei dieser Ableitung zwar nicht verwendet wurde, dass es aber leicht aus dem Ergebnis abgeleitet werden kann. Im Allgemeinen reichen bei dieser Art der Ableitung zwei beliebige der drei Startgesetze aus - alle Startpaare führen zum gleichen kombinierten Gasgesetz.

Bewerbungen

Das kombinierte Gasgesetz kann verwendet werden, um die Mechanik zu erklären, wo Druck, Temperatur und Volumen beeinflusst werden. Zum Beispiel: Klimaanlagen, Kühlschränke und die Bildung von Wolken sowie die Verwendung in der Strömungsmechanik und Thermodynamik.

Fragen und Antworten

F: Was ist das kombinierte Gasgesetz?

A: Das kombinierte Gasgesetz ist eine Formel über ideale Gase, die zeigt, wie drei Variablen (Druck, Volumen und Temperatur) miteinander in Beziehung stehen.

Q: Aus welchen drei Gesetzen setzt sich das kombinierte Gasgesetz zusammen?

A: Die drei Gesetze, aus denen das kombinierte Gasgesetz besteht, sind das Charles'sche Gesetz, das Boyle'sche Gesetz und das Gay-Lussac'sche Gesetz.

F: Was besagt das Charles'sche Gesetz?

A: Das Charles'sche Gesetz besagt, dass Volumen und Temperatur direkt proportional zueinander sind, solange der Druck gleich bleibt.

F: Was besagt das Boyle'sche Gesetz?

A: Das Boyle'sche Gesetz besagt, dass Druck und Volumen bei gleicher Temperatur umgekehrt proportional zueinander sind.

F: Was besagt das Gay-Lussac'sche Gesetz?

A: Das Gay-Lussac'sche Gesetz besagt, dass Temperatur und Druck direkt proportional sind, solange das Volumen gleich bleibt.

F: Wie ist das Avogadrosche Gesetz mit dem kombinierten Gasgesetz verbunden?

A: Wenn man das Avogadrosche Gesetz zum kombinierten Gasgesetz hinzufügt, entsteht das so genannte ideale Gasgesetz.