Eine Ableitung des kombinierten Gasgesetzes mit nur elementarer Algebra kann Überraschungen enthalten. Zum Beispiel, ausgehend von den drei empirischen Gesetzen
P = k V T {\Anzeigeart P=k_{V}\,T\,\! } 
(1) Gay-Lussac'sches Gesetz, Volumen als konstant angenommen
V = k P T T {\darstellungsstil V=k_{P}T\,\,\! } 
(2) Charles'sches Gesetz, Druck als konstant angenommen
P V = k T {\Anzeigeart PV=k_{T}\,\! } 
(3) Boyle'sches Gesetz, angenommene Temperatur konstant
wobei kV, kP und kT die Konstanten sind, kann man die drei miteinander multiplizieren, um Folgendes zu erhalten
P V P P V = k V T k P T k P T k T {\Anzeigeart PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\! } 
Die Quadratwurzel beider Seiten und die Division durch T scheint das gewünschte Ergebnis zu ergeben
P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{V}k_{T}}}\,\! } 
Wenn man jedoch vor der Anwendung des obigen Verfahrens lediglich die Begriffe im Boyle'schen Gesetz, kT = PV, neu anordnet, erhält man nach dem Löschen und Neuanordnen
k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}}=T^{2}\,\! } 
was nicht sehr hilfreich, wenn nicht sogar irreführend ist.
Eine physikalische Ableitung, die zwar länger, aber zuverlässiger ist, beginnt mit der Erkenntnis, dass sich der Parameter des konstanten Volumens im Gay-Lussac'schen Gesetz mit der Änderung des Systemvolumens ändert. Bei konstantem Volumen V1 könnte das Gesetz P = k1T erscheinen, während es bei konstantem Volumen V2 P = k2T erscheinen könnte. Bezeichnen Sie dieses "variable konstante Volumen" mit kV(V) und schreiben Sie das Gesetz um als
P = k V ( V ) T {\Anzeigestil P=k_{V}(V)\,T\,\! } 
(4)
Dieselbe Überlegung gilt für die Konstante im Gesetz von Charles, die umgeschrieben werden kann
V = k P ( P ) T {\Anzeigestil V=k_{P}(P)\,T\,\! } 
(5)
Bei der Suche nach kV(V) sollte man T zwischen (4) und (5) nicht gedankenlos eliminieren, da P im ersten Fall variiert, während es im zweiten Fall als konstant angenommen wird. Vielmehr sollte zunächst festgestellt werden, in welchem Sinne diese Gleichungen miteinander kompatibel sind. Um einen Einblick in diese Frage zu erhalten, erinnern Sie sich daran, dass zwei beliebige Variablen die dritte bestimmen. Wenn wir P und V als unabhängig wählen, stellen wir uns die T-Werte vor, die eine Fläche über der PV-Ebene bilden. Ein definitives V0 und P0 definieren einen T0, einen Punkt auf dieser Fläche. Das Ersetzen dieser Werte in (4) und (5) und die Neuanordnung ergibt
T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\Anzeigestil T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad und\quad T_{{0}={\frac {V_{0}}}{k_{P}(P_{0})}}} 
Da beide beschreiben, was am selben Punkt auf der Oberfläche geschieht, können die beiden numerischen Ausdrücke gleichgesetzt und neu angeordnet werden
k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\darstellungsstil {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}}={\frac {P_{0}}}{V_{0}}}\,\! } 
(6)
Beachten Sie, dass 1/kV(V0) und 1/kP(P0) die Steigungen der orthogonalen Linien parallel zur P-Achse/V-Achse und durch diesen Punkt auf der Oberfläche oberhalb der PV-Ebene sind. Das Verhältnis der Steigungen dieser beiden Linien hängt nur von dem Wert von P0/V0 an diesem Punkt ab.
Beachten Sie, dass die Funktionsform von (6) nicht von dem gewählten Punkt abhängt. Die gleiche Formel hätte sich für jede andere Kombination von P- und V-Werten ergeben. Daher kann man schreiben
k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \forall P,\forall V} 
(7)
Dies besagt, dass jeder Punkt auf der Oberfläche von einem eigenen Paar orthogonaler Linien durchzogen wird, deren Steigungsverhältnis nur von diesem Punkt abhängt. Während (6) eine Beziehung zwischen spezifischen Steigungen und variablen Werten ist, ist (7) eine Beziehung zwischen Steigungsfunktionen und Funktionsvariablen. Sie gilt für jeden Punkt auf der Oberfläche, d.h. für jede beliebige Kombination von P- und V-Werten. Um diese Gleichung für die Funktion kV(V) zu lösen, trennen Sie zunächst die Variablen, V auf der linken und P auf der rechten Seite.
V k V ( V ) = P k P ( P ) {\Anzeigeart V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)} 
Wählen Sie einen beliebigen Druck P1. Die rechte Seite wertet zu einem beliebigen Wert aus, nennen Sie ihn karb.
V k V ( V ) = k arb {\darstellungsstil V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\! } 
(8)
Diese spezielle Gleichung muss nun gelten, nicht nur für einen Wert von V, sondern für alle Werte von V. Die einzige Definition von kV(V), die dies für alle V und willkürlichen karb garantiert, ist
k V ( V ) = k arb V {\Anzeigestil k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}}}} 
(9)
die durch Ersetzung in (8) verifiziert werden kann.
Schließlich ergibt die Ersetzung (9) im Gay-Lussac-Gesetz (4) und die Neuordnung das kombinierte Gasgesetz
P V T T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}}=k_{\text{arb}}\,\! } 
Beachten Sie, dass das Boylesche Gesetz bei dieser Ableitung zwar nicht verwendet wurde, dass es aber leicht aus dem Ergebnis abgeleitet werden kann. Im Allgemeinen reichen bei dieser Art der Ableitung zwei beliebige der drei Startgesetze aus - alle Startpaare führen zum gleichen kombinierten Gasgesetz.
