Störgröße und Residuum
Statistische Fehler und Residuen treten auf, weil die Messung nie exakt ist.
Es ist nicht möglich, eine genaue Messung durchzuführen, aber es ist möglich zu sagen, wie genau eine Messung ist. Man kann die gleiche Sache immer wieder messen und alle Daten zusammen sammeln. Das erlaubt uns, Statistiken über die Daten zu erstellen. Was mit Fehlern und Residuen gemeint ist, ist die Differenz zwischen dem beobachteten oder gemessenen Wert und dem tatsächlichen Wert, der unbekannt ist.
Wenn es nur eine Zufallsvariable gibt, ist die Differenz zwischen statistischen Fehlern und Residuen die Differenz zwischen dem Mittelwert der Grundgesamtheit und dem Mittelwert der (beobachteten) Stichprobe. In diesem Fall ist das Residuum die Differenz zwischen dem, was die Wahrscheinlichkeitsverteilung sagt, und dem, was tatsächlich gemessen wurde.
Angenommen, es gibt ein Experiment zur Messung der Körpergröße von 21-jährigen Männern aus einem bestimmten Gebiet. Der Mittelwert der Verteilung beträgt 1,75 m. Wenn ein zufällig ausgewählter Mann 1,80 m gross ist, beträgt der "(statistische) Fehler" 0,05 m (5 cm); wenn er 1,70 gross ist, beträgt der Fehler -5 cm.
Ein Residuum (oder Anpassungsfehler) hingegen ist eine beobachtbare Schätzung des nicht beobachtbaren statistischen Fehlers. Im einfachsten Fall handelt es sich um eine Zufallsstichprobe von n Männern, deren Körpergröße gemessen wird. Der Stichprobenmittelwert wird als Schätzung des Populationsmittelwerts verwendet. Dann haben wir:
- Die Differenz zwischen der Körpergröße jedes Mannes in der Stichprobe und dem nicht beobachtbaren Bevölkerungsdurchschnitt ist ein statistischer Fehler, und
- Die Differenz zwischen der Körpergröße jedes Mannes in der Probe und dem beobachtbaren Mittelwert der Probe ist ein Residuum.
Die Summe der Residuen innerhalb einer Zufallsstichprobe muss Null sein. Die Residuen sind also nicht unabhängig. Die Summe der statistischen Fehler innerhalb einer Zufallsstichprobe muss nicht Null sein; die statistischen Fehler sind unabhängige Zufallsvariablen, wenn die Individuen unabhängig aus der Grundgesamtheit ausgewählt werden.
Zusammengefasst:
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Fragen und Antworten
F: Was ist mit statistischen Fehlern und Residuen gemeint?
A: Statistische Fehler und Residuen beziehen sich auf die Differenz zwischen dem beobachteten oder gemessenen Wert und dem tatsächlichen Wert, der unbekannt ist.
F: Wie kann man die Genauigkeit einer Messung messen?
A: Man kann dieselbe Sache wieder und wieder messen und alle Daten zusammenfassen. Auf diese Weise können wir die Daten statistisch auswerten, um festzustellen, wie genau eine Messung ist.
F: Was ist ein Beispiel für einen statistischen Fehler?
A: Ein Beispiel für einen statistischen Fehler wäre, wenn in einem Experiment die Körpergröße von 21-jährigen Männern aus einem bestimmten Gebiet mit einem erwarteten Mittelwert von 1,75 m gemessen wird, aber ein zufällig ausgewählter Mann 1,80 m groß ist; dann würde der "(statistische) Fehler" 0,05 m (5 cm) betragen.
F: Was ist ein Beispiel für ein Residuum?
A: Ein Beispiel für ein Residuum wäre, wenn in einem Experiment die Körpergröße von 21-jährigen Männern aus einem bestimmten Gebiet mit einem erwarteten Mittelwert von 1,75 m gemessen würde, aber ein zufällig ausgewählter Mann 1,70 m groß wäre; dann wäre das Residuum (oder der Anpassungsfehler) -0,05 m (-5 cm).
F: Sind die Residuen unabhängige Variablen?
A: Nein. Die Summe der Residuen innerhalb einer Zufallsstichprobe muss gleich Null sein, sie sind also keine unabhängigen Variablen.
Q: Sind statistische Fehler unabhängige Variablen?
A: Ja, die Summe der statistischen Fehler innerhalb einer Zufallsstichprobe muss nicht gleich Null sein. Daher sind sie unabhängige Zufallsvariablen, wenn die Individuen unabhängig voneinander aus der Bevölkerung ausgewählt werden.
F: Ist es möglich, exakte Messungen durchzuführen?
A:Nein, es ist nicht möglich, exakte Messungen vorzunehmen, denn eine Messung ist niemals exakt
