Fermat-Zahl

Autor: Leandro Alegsa

03-11-2020

Eine Fermat-Zahl ist eine spezielle positive Zahl. Fermat-Zahlen sind nach Pierre de Fermat benannt. Die Formel, die sie erzeugt, lautet

F n = 2 2 2 n + 1 {\Anzeigestil F_{n}=2^{2^{\Überschreitung {n}{}}}+1} $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

wobei n eine nicht-negative ganze Zahl ist. Die ersten neun Fermat-Zahlen sind (Sequenz A000215 in der OEIS):

F0 = ²¹ + 1 = 3

F1 = ²² + 1 = 5

F2 = ²⁴ + 1 = 17

F3 = ²⁸ + 1 = 257

F4 = 216 + 1 = 65537

F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = ²²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Ab 2007 wurden nur die ersten 12 Fermat-Zahlen vollständig berücksichtigt. (geschrieben als Produkt von Primzahlen) Diese Faktorisierungen sind unter Primfaktoren von Fermat-Zahlen zu finden.

Wenn 2n + 1 Primzahl ist und n > 0, kann gezeigt werden, dass n eine Zweierpotenz sein muss. Jede Primzahl der Form 2n + 1 ist eine Fermat-Zahl, und solche Primzahlen werden Fermat-Primzahlen genannt. Die einzigen bekannten Fermat-Primzahlen sind F0,....,F4.

Interessantes über Fermat-Zahlen

Keine zwei Fermat-Zahlen haben gemeinsame Teiler.
Fermat-Zahlen können rekursiv berechnet werden: Um die N-te Zahl zu erhalten, multiplizieren Sie alle Fermat-Zahlen davor und addieren Sie zwei zum Ergebnis.

Wozu sie verwendet werden

Heute können Fermat-Zahlen verwendet werden, um Zufallszahlen zu erzeugen, die zwischen 0 und irgendeinem Wert N liegen, der eine Potenz von 2 ist.

Fermats Vermutung

Als Fermat diese Zahlen studierte, vermutete er, dass alle Fermat-Zahlen Primzahlen sind. Dies erwies sich als falsch, als Leonhard Euler 1732 F 5 {\Darstellungsstil F_{5}} $F_{5}$ faktorisierte.

Fragen und Antworten

F: Was ist eine Fermat-Zahl?

A: Eine Fermat-Zahl ist eine spezielle positive Zahl, benannt nach Pierre de Fermat. Sie ergibt sich aus der Formel F_n = 2^2^(n) + 1, wobei n eine nichtnegative ganze Zahl ist.

F: Wie viele Fermat-Zahlen gibt es?

A: Seit 2007 sind nur die ersten 12 Fermat-Zahlen vollständig faktorisiert worden.

F: Wie lauten die ersten neun Fermat-Zahlen?

A: Die ersten neun Fermat-Zahlen sind F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), und F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).

F: Was lässt sich über Primzahlen der Form 2n + 1 sagen?

A: Wenn 2n + 1 eine Primzahl ist und n > 0, dann kann gezeigt werden, dass n eine Potenz von zwei sein muss. Jede Primzahl der Form 2n + 1 ist auch eine Fermat-Zahl und solche Primzahlen werden Fermat-Primzahlen genannt. Die einzigen bekannten Fermat-Primzahlen liegen zwischen 0 und 4.

F: Wo kann man Faktorisierungen für alle 12 bekannten faktorisierten Fermat-Zahlen finden?

A: Faktorisierungen für alle 12 bekannten faktorisierten Fermat-Zahlen finden Sie unter Primfaktoren der Fermat-Zahlen.

F: Wer war Pierre de Fermaat?

A: Pierre de Fermaat war ein einflussreicher französischer Mathematiker, der im 17. Jahrhundert lebte und mit seinen Arbeiten einen Großteil der Grundlagen für die moderne Mathematik schuf. Er ist vor allem für seine Beiträge zur Wahrscheinlichkeitstheorie und zur analytischen Geometrie sowie für sein berühmtes Letztes Theorem bekannt, das bis 1995 ungelöst blieb, als es schließlich von Andrew Wiles mit Methoden der algebraischen Geometrie bewiesen wurde.