Gaußsches Eliminationsverfahren

In der Mathematik ist die Gaußsche Elimination (auch Zeilenreduktion genannt) eine Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Sie ist nach Carl Friedrich Gauß benannt, einem berühmten deutschen Mathematiker, der über diese Methode geschrieben, sie aber nicht erfunden hat.

Zur Durchführung der Gaußschen Elimination werden die Koeffizienten der Terme im System der linearen Gleichungen verwendet, um eine Art Matrix zu erstellen, die als erweiterte Matrix bezeichnet wird. Dann werden elementare Zeilenoperationen verwendet, um die Matrix zu vereinfachen. Die drei Arten der verwendeten Zeilenoperationen sind:

Typ 1: Vertauschen einer Reihe mit einer anderen Reihe.

Typ 2: Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl ungleich Null.

Typ 3: Addieren oder Subtrahieren einer Zeile von einer anderen Zeile.

Das Ziel der Gaußschen Elimination ist es, die Matrix in Reihenform zu erhalten. Wenn eine Matrix in Zeilenform vorliegt, d.h. von links nach rechts gelesen wird, beginnt jede Zeile mit mindestens einem Nullterm mehr als die Zeile darüber. Einige Definitionen der Gaußschen Elimination besagen, dass das Matrixergebnis in reduzierter Zeilenstaffelform vorliegen muss. Das bedeutet, dass die Matrix in Zeilenform vorliegt und der einzige Nicht-Null-Term in jeder Zeile 1 ist. Die Gaußsche Elimination, die ein reduziertes Zeilenebenen-Matrixergebnis erzeugt, wird manchmal als Gauß-Jordan-Elimination bezeichnet.

Beispiel

Angenommen, das Ziel ist es, die Antworten auf dieses System von linearen Gleichungen zu finden.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\Anzeigestil {\beginnt{ausgerichtet}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Zunächst muss das System in eine erweiterte Matrix umgewandelt werden. In einer erweiterten Matrix wird jede lineare Gleichung zu einer Zeile. Auf einer Seite der erweiterten Matrix werden die Koeffizienten jedes Terms in der linearen Gleichung zu Zahlen in der Matrix. Auf der anderen Seite der erweiterten Matrix sind die konstanten Terme, denen jede lineare Gleichung gleich ist. Für dieses System ist die erweiterte Matrix:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\Anzeigestil \links[{\Beginn{Anordnung}{ccc|c}2&1&-1&-1&8\\\-3&-1&-1&2&-11\\\-2&1&2&-3\Ende{Anordnung}}}}rechts]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Anschließend können Zeilenoperationen auf der erweiterten Matrix durchgeführt werden, um sie zu vereinfachen. Die folgende Tabelle zeigt den Prozess der Zeilenreduktion auf dem Gleichungssystem und auf der erweiterten Matrix.

System von Gleichungen	Reihen-Operationen	Erweiterte Matrix
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\Anzeigestil {\beginnt{ausgerichtet}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\Anzeigestil \links[{\Beginn{Anordnung}{ccc\|c}2&1&-1&-1&8\\\-3&-1&-1&2&-11\\\-2&1&2&-3\Ende{Anordnung}}}}rechts]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 1 2 y + z = 5 {\Anzeigestil {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&& 2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\Anzeigestil R_{2}+{\frac {3}{2}}}R_{1}\Rechtspfeil R_{2}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\Anzeigestil R_{3}+R_{1}\rechter Pfeil R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\Anzeigestil \links[{\Beginn{Anordnung}{ccc\|c}2&1&-1&-1&8\\\\0&1/2&1/2&1\\\0&2&1&1&5\Ende{Anordnung}}}}rechts]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\Anzeigestil {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\Anzeigestil R_{3}+-4R_{2}\rechter Pfeil R_{3}}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 0 - 1 1 1 ] {\Anzeigestil \links[{\Beginn{Anordnung}{ccc\|c}2&1&-1&-1&8\\\0&1/2&1/2&1\\\0&0&0&-1&1\Ende{Anordnung}}}}rechts]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Die Matrix ist jetzt in Zeilenform. Diese Form wird auch als Dreiecksform bezeichnet.

System von Gleichungen	Reihen-Operationen	Erweiterte Matrix
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\Anzeigestil {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;\;&&=\;&&7&\\\&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\Anzeigestil R_{2}+{\frac {1}{2}}}R_{3}\Rechtspfeil R_{2}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\Anzeigestil R_{1}-R_{3}\Pfeil rechts R_{1}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 0 7 0 0 1 / 2 0 0 3 / 2 0 0 0 - 1 1 1 ] {\Anzeigestil \links[{\Beginn{Anordnung}{ccc\|c}2&1&0&0&7\\\0&1/2&0&3/2\\\0&0&0&-1&1\Ende{Anordnung}}}}rechts]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\Anzeigestil {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;\;&&=\;&&7&\\\&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\Anzeigestil 2R_{2}\rechter Pfeil R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {\Anzeigestil -R_{3}\rechter Pfeil R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 0 7 0 1 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\Anzeigestil \links[{\Beginn{Anordnung}{ccc\|c}2&1&1&0&7\\\\0&1&0&3\\\0&0&0&1&-1\Ende{Anordnung}}}rechts]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\Anzeigestil {\Beginn{Ausrichtung}{7}x&&\;&&\;&&&&\\;\;&&=\;&&2&\\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\Anzeigestil R_{1}-R_{2}\Rechter Pfeil R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 1 → R 1 {\Anzeigestil {\frac {1}{2}}}R_{1}\rechter Pfeil R_{1}} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 0 2 0 1 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\Anzeigestil \links[{\Beginn{Anordnung}{ccc\|c}1&0&0&0&2\\\\0&1&0&3\\\0&0&0&1&-1\Ende{Anordnung}}}rechts]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Die Matrix liegt nun in reduzierter Zeilenstaffelform vor. Das Lesen dieser Matrix sagt uns, dass die Lösungen für dieses Gleichungssystem auftreten, wenn x = 2, y = 3 und z = -1.

Fragen und Antworten

F: Was ist die Gaußsche Eliminierung?

A: Die Gaußsche Eliminierung ist eine Methode, die in der Mathematik verwendet wird, um Systeme linearer Gleichungen zu lösen.

F: Nach wem ist sie benannt?

A: Sie ist nach Carl Friedrich Gauß benannt, einem berühmten deutschen Mathematiker, der über diese Methode geschrieben, sie aber nicht erfunden hat.

F: Wie wird die Gaußsche Eliminierung durchgeführt?

A: Die Gaußsche Eliminierung wird durchgeführt, indem die Koeffizienten der Terme im System der linearen Gleichungen verwendet werden, um eine erweiterte Matrix zu erstellen. Anschließend wird die Matrix mit elementaren Zeilenoperationen vereinfacht.

F: Welche drei Arten von Zeilenoperationen werden bei der Gaußschen Eliminierung verwendet?

A: Die drei Arten von Zeilenoperationen, die bei der Gaußschen Eliminierung verwendet werden, sind: Vertauschen einer Zeile mit einer anderen Zeile, Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl ungleich Null und Addieren oder Subtrahieren einer Zeile von einer anderen Zeile.

F: Was ist das Ziel der Gaußschen Eliminierung?

A: Das Ziel der Gaußschen Eliminierung ist es, die Matrix in Zeilen-Echelon-Form zu erhalten.

F: Was ist die Zeilen-Echelon-Form?

A: Wenn eine Matrix in Zeilen-Echelon-Form vorliegt, bedeutet dies, dass jede Zeile von links nach rechts gelesen mit mindestens einem Nullterm mehr beginnt als die Zeile darüber.

F: Was ist die reduzierte Zeilen-Echelon-Form?

A: Reduzierte Zeilen-Echelon-Form bedeutet, dass die Matrix in Zeilen-Echelon-Form vorliegt und der einzige Nicht-Null-Term in jeder Zeile 1 ist. Die Gaußsche Eliminierung, die eine reduzierte Zeilen-Echelon-Matrix ergibt, wird manchmal auch als Gauß-Jordan-Elimination bezeichnet.