Heaviside-Funktion

Wir können auch eine alternative Form der Heavisideschrittfunktion als Funktion einer diskreten Variablen n definieren:

H [ n ] = { 0 , n < 0 1 , n ≥ 0 {\darstellungsstil H[n]={\begin{cases}0,&n<0\\\1,&n\geq 0\end{cases}}}

wobei n eine ganze Zahl ist.

Oder

H ( x ) = lim z → x - ( ( | z | / z + 1 ) / 2 ) {\Anzeigestil H(x)=\lim _{z\rechtspfeil x^{-}}}((|z|/z+1)/2)}

Der zeitdiskrete Einheitsimpuls ist die erste Differenz des zeitdiskreten Schrittes

δ [ n ] = H [ n ] - H [ n - 1 ] . {\Anzeigestil \delta \links[n\rechts]=H[n]-H[n-1]. }

Diese Funktion ist die kumulative Summierung des Kronecker-Deltas:

H [ n ] = ∑ k = - ∞ n δ [ k ] {\darstellungsstil H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]\,}

wo

δ [ k ] = δ k , 0 {\Anzeigestil \delta [k]=\delta _{k,0}\,}

ist die diskrete Einheits-Impulsfunktion.

Oft ist eine integrale Darstellung der Heaviside-Schrittfunktion nützlich:

H ( x ) = lim ϵ → 0 + - 1 2 π i ∫ - ∞ ∞ 1 τ + i ϵ e - i x τ d τ = lim ϵ → 0 + 1 2 π i ∫ - ∞ ∞ ∞ 1 τ - i ϵ e i x τ d τ . {\Anzeigestil H(x)=\lim _{\epsilon \bis 0^{+}}-{1 \über 2\pi \mathrm {i} \int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +\mathrm {i} \epsilon \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\tau {tau }\mathrm {d} \tau =\lim _{\epsilon \bis 0^{+}}{1 \über 2\pi \mathrm {i} \int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau -\mathrm {i} \epsilon \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\tau {\tau }\mathrm {d} \tau . }

Der Wert der Funktion bei 0 kann als H(0) = 0, H(0) = ½ oder H(0) = 1 definiert werden.

H ( x ) = 1 + sgn ( x ) 2 = { 0 , x < 0 1 2 , x = 0 1 , x > 0. {\displaystyle H(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0.\end{cases}}}

• Laplace-Transformation