Arithmetische Genauigkeit

Autor: Leandro Alegsa

03-11-2020

Die Genauigkeit eines numerischen Wertes beschreibt die Anzahl der Ziffern, die zur Darstellung dieses Wertes verwendet werden. In einem wissenschaftlichen Umfeld wäre dies die Gesamtzahl der Ziffern (manchmal auch als signifikante Zahlen oder signifikante Ziffern bezeichnet) oder, seltener, die Anzahl der Nachkommastellen oder Dezimalstellen (die Anzahl der Ziffern nach dem Dezimalpunkt). Diese zweite Definition ist bei Anwendungen im Finanz- und Ingenieurwesen nützlich, wo die Anzahl der Ziffern im Nachkommastellenteil von besonderer Bedeutung ist.

In beiden Fällen kann der Begriff "Präzision" verwendet werden, um die Position zu beschreiben, an der ein ungenaues Ergebnis gerundet wird. Zum Beispiel wird in der Gleitkommaarithmetik ein Ergebnis auf eine gegebene oder feste Genauigkeit gerundet, die der Länge des resultierenden Signifikanten entspricht. In Finanzberechnungen wird eine Zahl oft auf eine bestimmte Anzahl von Stellen gerundet (z.B. bei vielen Weltwährungen auf zwei Stellen nach dem Dezimaltrennzeichen).

Als Beispiel kann die Dezimalzahl 12,345 mit einer unterschiedlichen Anzahl signifikanter Ziffern oder Dezimalstellen ausgedrückt werden. Wenn keine ausreichende Genauigkeit verfügbar ist, wird die Zahl in irgendeiner Weise gerundet, um der verfügbaren Genauigkeit zu entsprechen. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse für verschiedene Gesamtpräzisionen und Dezimalstellen, gerundet auf den nächstliegenden Wert unter Verwendung der Rundungs-Methode.

Beachten Sie, dass es oft nicht angebracht ist, eine Zahl mit mehr Ziffern anzuzeigen, als gemessen werden können. Wenn z.B. ein Gerät auf das Gramm genau misst und einen Messwert von 12,345 kg anzeigt, würde es eine falsche Präzision erzeugen, wenn die Messung "12,34500 kg" mit 2 zusätzlichen Nullen ("00") am Ende ausgedrückt würde.

Die Darstellung einer positiven Zahl x mit einer Genauigkeit von p signifikanten Ziffern hat einen numerischen Wert, der durch die folgende Formel gegeben ist

rund(^10-n-x)-10n, wobei n = Stockwerk(log10 x) + 1 - p.

Bei einer negativen Zahl ist der numerische Wert abzüglich des absoluten Wertes. Die Zahl 0 kann, mit beliebiger Genauigkeit, als 0 angenommen werden.

Fragen und Antworten

F: Was ist Präzision bei einem numerischen Wert?

A: Die Genauigkeit eines numerischen Wertes beschreibt die Anzahl der Ziffern, die zur Darstellung dieses Wertes verwendet werden.

F: Wie kann die Präzision verwendet werden, um die Stelle zu beschreiben, an der ein ungenaues Ergebnis gerundet wird?

A: Die Genauigkeit kann verwendet werden, um die Stelle zu beschreiben, an der ein ungenaues Ergebnis gerundet wird, indem eine bestimmte oder feste Genauigkeit festgelegt wird, die die Länge des resultierenden Signifikanten ist. Bei Finanzberechnungen wird eine Zahl oft auf eine bestimmte Anzahl von Stellen gerundet (z.B. zwei Stellen nach dem Dezimaltrennzeichen bei vielen Weltwährungen).

F: Wie kann 12,345 mit einer unterschiedlichen Anzahl signifikanter Ziffern oder Dezimalstellen ausgedrückt werden?

A: 12,345 kann mit einer unterschiedlichen Anzahl signifikanter Ziffern oder Dezimalstellen ausgedrückt werden, indem die Zahl mit der Rundungsmethode an die verfügbare Genauigkeit angepasst wird.

Q: Was passiert, wenn die Genauigkeit nicht ausreicht?

A: Wenn die verfügbare Genauigkeit nicht ausreicht, wird die Zahl auf irgendeine Weise gerundet, um sie an die verfügbare Genauigkeit anzupassen.

F: Ist es angemessen, eine Zahl mit mehr Ziffern anzuzeigen, als gemessen werden können?

A: Nein, es ist nicht sinnvoll, eine Zahl mit mehr Ziffern anzuzeigen, als gemessen werden können, da dies zu einer falschen Präzision führt. Wenn ein Gerät beispielsweise auf das Gramm genau misst und einen Wert von 12,345 kg anzeigt, würde dies zu einer falschen Präzision führen, wenn die Messung als "12,34500 kg" mit 2 zusätzlichen Nullen ("00") am Ende angegeben würde.

F: Welche Formel stellt positive Zahlen x mit einer Genauigkeit von p signifikanten Stellen dar?

A: Die Formel, die positive Zahlen x mit einer Genauigkeit von p signifikanten Stellen darstellt, hat einen Zahlenwert, der durch round(10-n-x)-10n gegeben ist, wobei n = floor(log10 x) + 1 - p . Für negative Zahlen ist der numerische Wert minus dem ihres absoluten Wertes und 0 hat eine beliebige Genauigkeit, die als 0 angenommen wird