Sinussatz: Definition, Formel und Anwendungen zur Dreiecks-Triangulation

Sinussatz: Definition, Formel & Anwendung zur Dreiecks-Triangulation — klare Beispiele, Lösungswege, Ambiguitäten und Rechner-Tipps für präzise Winkel- und Seitenberechnung.

Autor: Leandro Alegsa

21-01-2026 12:28

Die Sinus-Regel (auch Sinussatz oder Sinus-Gesetz) ist ein fundamentales Resultat der Mathematik für ebene Dreiecke. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen den Winkeln A, B, C und den gegenüberliegenden Seiten a, b, c eines Dreiecks her und lautet in einer gebräuchlichen Form:

a sin A = b sin B = c sin C = D {\darstellungsstil {\frac {\sin A}}\,=\,{\frac {\b}{\sin B}}\,=\,{\frac {\sin C}}\,=D\! } ${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!$

Eine äquivalente Schreibweise ist:

sin A a = sin B b = sin C c {\darstellungsstil {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } ${\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!$

Hinweis: In der ersten Form wird die gemeinsame Größe D oft als Durchmesser des Umkreises des Dreiecks bezeichnet; üblicher ist die Verwendung des Umkreisradius R mit D = 2R. Man schreibt dann auch a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C.

Beweis (kurze Herleitung)

Ein einfacher Beweis nutzt den Umkreis: Sei R der Radius des Umkreises. Die Seite a ist eine Sehne im Umkreis, deren Länge durch den zugehörigen Mittelpunktswinkel 2A gegeben ist; daraus folgt a = 2R sin A. Entsprechendes gilt für b und c, somit teilen a/sin A, b/sin B und c/sin C denselben Wert 2R.

Anwendungen

Berechnung unbekannter Seiten oder Winkel in Dreiecken, wenn z. B. zwei Winkel und eine Seite (ASA oder AAS) bekannt sind: Mit a/sin A = b/sin B lässt sich die jeweils gesuchte Seite berechnen, z. B. b = a·sin B / sin A.
Fälle mit zwei Seiten und einem nicht eingeschlossenen Winkel (SSA): Das Sinusgesetz kann die fehlende Seite oder den fehlenden Winkel liefern, siehe aber den Abschnitt zum mehrdeutigen Fall.
Triangulation in Vermessung, Navigation und Astronomie: Entfernungsmessungen aus Winkeln und einer bekannten Basis.

Praktische Formeln

Gegeben a und Winkel A, B: b = a · (sin B / sin A), c = a · (sin C / sin A) (mit C = 180° − A − B).
Beziehung zum Umkreisradius: R = a / (2 sin A) = b / (2 sin B) = c / (2 sin C).

Der mehrdeutige Fall (SSA)

Bei der Konstellation, dass zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind, wobei der gegebene Winkel nicht zwischen den beiden Seiten liegt (SSA), kann es drei verschiedene Situationen geben:

Keine Lösung: Wenn die gegebene Seite kürzer ist als die Höhe des Dreiecks zur Basis, ergibt sich kein Dreieck.
Eindeutige Lösung: Wenn die gegebene Seite groß genug ist (oder genau gleich der Höhe und so ein rechtwinkliges Dreieck entsteht), dann ist die Lösung eindeutig.
Zwei Lösungen (mehrdeutiger Fall): Wenn die gegebene Seite länger als die Höhe, aber kürzer als die gegenüberliegende Seite, dann gibt es zwei mögliche Winkel mit demselben Sinus: θ und 180°−θ. Dadurch entstehen zwei verschiedene Dreiecke, die beide die gegebenen Daten erfüllen.

Praktisches Vorgehen: Berechne zunächst sin γ = (c·sin A)/a (Beispiel). Wenn 0 < sin γ < 1, dann ist γ1 = arcsin(sin γ) eine Lösung; die zweite mögliche Lösung ist γ2 = 180° − γ1 (sofern sie konsistent mit der Winkelsumme ist). Prüfe anschließend, ob die so gewonnenen Winkel zu einer gültigen Dreieckskonfiguration führen (Summe der Winkel < 180° etc.).

Numerische Hinweise und Stabilität

Beim Verwenden von arcsin sind Rundungsfehler möglich: Werte, die theoretisch ≤ 1 sein sollten, können durch numerische Ungenauigkeiten leicht > 1 werden. In der Praxis sollte man solche Werte vor dem Aufruf von arcsin auf den Bereich [−1, 1] begrenzen (clamping).
Bei sehr kleinen oder sehr großen Winkeln (sinusnah bei 0 oder 1) können relative Fehler bei der Winkelbestimmung relativ groß werden. Wenn stattdessen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind (SAS), ist das Kosinussatz oft numerisch stabiler.
Wenn ein Winkel sehr nahe bei 90° liegt, ist die Berechnung mit dem Sinussatz grundsätzlich weiterhin möglich; besondere Vorsicht ist aber bei Differenzen von Winkeln und bei der numerischen Bestimmung der dritten Seite geboten.

Nachweis

Die Fläche T {\Darstellungsstil T} $T$ eines beliebigen Dreiecks kann als die Hälfte seiner Basis mal seiner Höhe (vom Scheitelpunkt aus gezeichnet, nicht auf der Basis) geschrieben werden. Je nachdem, welche Seite man als Basis wählt, kann die Fläche angegeben werden durch

T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\Anzeigestil T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}}a(b\sin C)\,. } $T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,.$

Multipliziert man diese mit 2 / a b c {\darstellungsstil 2/abc} $2/abc$ ergibt

2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\darstellungsstil {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}}={\frac {\sin B}{b}}}={\frac {\sin C}{c}}\,. } ${\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,.$

Fragen und Antworten

F: Was ist das Sinusgesetz?

A: Das Sinusgesetz, auch bekannt als Sinusregel, ist ein Lehrsatz in der Mathematik, der besagt, dass eine Gleichung wahr ist, wenn Sie ein Dreieck wie das auf dem Bild haben.

F: Was besagt diese Gleichung?

A: Diese Gleichung besagt, dass das Verhältnis zwischen der Länge jeder Seite und dem Sinuswert des gegenüberliegenden Winkels gleich ist.

Q: Wie wird sie verwendet?

A: Das Sinusgesetz kann verwendet werden, um die restlichen Seiten eines Dreiecks zu bestimmen, wenn zwei Winkel und eine Seite bekannt sind. Es kann auch verwendet werden, wenn zwei Seiten und einer der Winkel, die nicht von diesen beiden Seiten eingeschlossen sind, bekannt sind.

F: Was geschieht in einem zweideutigen Fall?

A: In manchen Fällen gibt die Formel zwei mögliche Werte für den eingeschlossenen Winkel an. Dies nennt man einen mehrdeutigen Fall.

Q: Wie verhält es sich im Vergleich zu anderen trigonometrischen Gleichungen?

A: Das Sinusgesetz ist eine von zwei trigonometrischen Gleichungen, die zur Bestimmung von Längen und Winkeln in skaligen Dreiecken verwendet werden. Die andere ist das Kosinusgesetz.

Q: Was ist D gleich? A: D ist gleich dem Durchmesser des Umkreises des Dreiecks.

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