Sinussatz
Die Sinus-Regel oder das Sinus-Gesetz ist ein Theorem der Mathematik. Es besagt, dass, wenn man ein Dreieck wie das im Bild gezeigte hat, die untenstehende Gleichung wahr ist.
a sin A = b sin B = c sin C = D {\darstellungsstil {\frac {\sin A}}\,=\,{\frac {\b}{\sin B}}\,=\,{\frac {\sin C}}\,=\,D\! } 
Dies ist eine andere Version, die ebenfalls zutrifft.
sin A a = sin B b = sin C c {\darstellungsstil {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } 
D ist gleich dem Durchmesser des Kreisumfangs des Dreiecks.
Das Sinusgesetz wird verwendet, um die verbleibenden Seiten eines Dreiecks zu finden, wenn zwei Winkel und eine Seite bekannt sind. Dies wird als Triangulation bezeichnet. Diese Berechnung kann jedoch einen numerischen Fehler aufweisen, wenn ein Winkel nahe bei 90 Grad liegt. Das Sinusgesetz kann auch verwendet werden, wenn zwei Seiten und einer der Winkel, die nicht von den beiden Seiten eingeschlossen sind, bekannt sind. In einigen solchen Fällen gibt die Formel zwei mögliche Werte für den eingeschlossenen Winkel an. Man nennt dies einen mehrdeutigen Fall.
Das Sinusgesetz ist eine von zwei trigonometrischen Gleichungen, die zum Auffinden von Längen und Winkeln in Skalendreiecken verwendet wird. Die andere ist das Kosinusgesetz.
Ein Dreieck, das mit den für diese Erklärung erforderlichen Buchstaben beschriftet ist. A, B und C sind die Winkel. a ist die A gegenüberliegende Seite. b ist die B gegenüberliegende Seite. c ist die C gegenüberliegende Seite
Nachweis
Die Fläche T {\Darstellungsstil T}
eines beliebigen Dreiecks kann als die Hälfte seiner Basis mal seiner Höhe (vom Scheitelpunkt aus gezeichnet, nicht auf der Basis) geschrieben werden. Je nachdem, welche Seite man als Basis wählt, kann die Fläche angegeben werden durch
T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\Anzeigestil T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}}a(b\sin C)\,. } 
Multipliziert man diese mit 2 / a b c {\darstellungsstil 2/abc}
ergibt
2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\darstellungsstil {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}}={\frac {\sin B}{b}}}={\frac {\sin C}{c}}\,. } 
Fragen und Antworten
F: Was ist das Sinusgesetz?
A: Das Sinusgesetz, auch bekannt als Sinusregel, ist ein Lehrsatz in der Mathematik, der besagt, dass eine Gleichung wahr ist, wenn Sie ein Dreieck wie das auf dem Bild haben.
F: Was besagt diese Gleichung?
A: Diese Gleichung besagt, dass das Verhältnis zwischen der Länge jeder Seite und dem Sinuswert des gegenüberliegenden Winkels gleich ist.
Q: Wie wird sie verwendet?
A: Das Sinusgesetz kann verwendet werden, um die restlichen Seiten eines Dreiecks zu bestimmen, wenn zwei Winkel und eine Seite bekannt sind. Es kann auch verwendet werden, wenn zwei Seiten und einer der Winkel, die nicht von diesen beiden Seiten eingeschlossen sind, bekannt sind.
F: Was geschieht in einem zweideutigen Fall?
A: In manchen Fällen gibt die Formel zwei mögliche Werte für den eingeschlossenen Winkel an. Dies nennt man einen mehrdeutigen Fall.
Q: Wie verhält es sich im Vergleich zu anderen trigonometrischen Gleichungen?
A: Das Sinusgesetz ist eine von zwei trigonometrischen Gleichungen, die zur Bestimmung von Längen und Winkeln in skaligen Dreiecken verwendet werden. Die andere ist das Kosinusgesetz.
Q: Was ist D gleich? A: D ist gleich dem Durchmesser des Umkreises des Dreiecks.
