Sinussatz: Definition, Formel und Anwendungen zur Dreiecks-Triangulation

Sinussatz: Definition, Formel & Anwendung zur Dreiecks-Triangulation — klare Beispiele, Lösungswege, Ambiguitäten und Rechner-Tipps für präzise Winkel- und Seitenberechnung.

Die Sinus-Regel (auch Sinussatz oder Sinus-Gesetz) ist ein fundamentales Resultat der Mathematik für ebene Dreiecke. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen den Winkeln A, B, C und den gegenüberliegenden Seiten a, b, c eines Dreiecks her und lautet in einer gebräuchlichen Form:

a sin A = b sin B = c sin C = D {\darstellungsstil {\frac {\sin A}}\,=\,{\frac {\b}{\sin B}}\,=\,{\frac {\sin C}}\,=D\! } ${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!$

Eine äquivalente Schreibweise ist:

sin A a = sin B b = sin C c {\darstellungsstil {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } ${\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!$

Hinweis: In der ersten Form wird die gemeinsame Größe D oft als Durchmesser des Umkreises des Dreiecks bezeichnet; üblicher ist die Verwendung des Umkreisradius R mit D = 2R. Man schreibt dann auch a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C.

Beweis (kurze Herleitung)

Ein einfacher Beweis nutzt den Umkreis: Sei R der Radius des Umkreises. Die Seite a ist eine Sehne im Umkreis, deren Länge durch den zugehörigen Mittelpunktswinkel 2A gegeben ist; daraus folgt a = 2R sin A. Entsprechendes gilt für b und c, somit teilen a/sin A, b/sin B und c/sin C denselben Wert 2R.

Anwendungen

Berechnung unbekannter Seiten oder Winkel in Dreiecken, wenn z. B. zwei Winkel und eine Seite (ASA oder AAS) bekannt sind: Mit a/sin A = b/sin B lässt sich die jeweils gesuchte Seite berechnen, z. B. b = a·sin B / sin A.
Fälle mit zwei Seiten und einem nicht eingeschlossenen Winkel (SSA): Das Sinusgesetz kann die fehlende Seite oder den fehlenden Winkel liefern, siehe aber den Abschnitt zum mehrdeutigen Fall.
Triangulation in Vermessung, Navigation und Astronomie: Entfernungsmessungen aus Winkeln und einer bekannten Basis.

Praktische Formeln

Gegeben a und Winkel A, B: b = a · (sin B / sin A), c = a · (sin C / sin A) (mit C = 180° − A − B).
Beziehung zum Umkreisradius: R = a / (2 sin A) = b / (2 sin B) = c / (2 sin C).

Der mehrdeutige Fall (SSA)

Bei der Konstellation, dass zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind, wobei der gegebene Winkel nicht zwischen den beiden Seiten liegt (SSA), kann es drei verschiedene Situationen geben:

Keine Lösung: Wenn die gegebene Seite kürzer ist als die Höhe des Dreiecks zur Basis, ergibt sich kein Dreieck.
Eindeutige Lösung: Wenn die gegebene Seite groß genug ist (oder genau gleich der Höhe und so ein rechtwinkliges Dreieck entsteht), dann ist die Lösung eindeutig.
Zwei Lösungen (mehrdeutiger Fall): Wenn die gegebene Seite länger als die Höhe, aber kürzer als die gegenüberliegende Seite, dann gibt es zwei mögliche Winkel mit demselben Sinus: θ und 180°−θ. Dadurch entstehen zwei verschiedene Dreiecke, die beide die gegebenen Daten erfüllen.

Praktisches Vorgehen: Berechne zunächst sin γ = (c·sin A)/a (Beispiel). Wenn 0 < sin γ < 1, dann ist γ1 = arcsin(sin γ) eine Lösung; die zweite mögliche Lösung ist γ2 = 180° − γ1 (sofern sie konsistent mit der Winkelsumme ist). Prüfe anschließend, ob die so gewonnenen Winkel zu einer gültigen Dreieckskonfiguration führen (Summe der Winkel < 180° etc.).

Numerische Hinweise und Stabilität

Beim Verwenden von arcsin sind Rundungsfehler möglich: Werte, die theoretisch ≤ 1 sein sollten, können durch numerische Ungenauigkeiten leicht > 1 werden. In der Praxis sollte man solche Werte vor dem Aufruf von arcsin auf den Bereich [−1, 1] begrenzen (clamping).
Bei sehr kleinen oder sehr großen Winkeln (sinusnah bei 0 oder 1) können relative Fehler bei der Winkelbestimmung relativ groß werden. Wenn stattdessen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind (SAS), ist das Kosinussatz oft numerisch stabiler.
Wenn ein Winkel sehr nahe bei 90° liegt, ist die Berechnung mit dem Sinussatz grundsätzlich weiterhin möglich; besondere Vorsicht ist aber bei Differenzen von Winkeln und bei der numerischen Bestimmung der dritten Seite geboten.