Quantifikator: Definition und Typen (universell, existenziell) in der Logik

Diese Aussage ist unendlich lang:

1 - 2 = 1 + 1, und 2 - 2 = 2 + 2, und 3 - 2 = 3 + 3, ..., und 100 - 2 = 100 + 100, und ..., usw.

Dies ist ein Problem für formale Sprachen, da eine formale Erklärung eine endliche Länge haben muss. Diese Probleme können durch eine universelle Quantifizierung vermieden werden. Daraus ergibt sich die folgende kompakte Aussage:

Für jede natürliche Zahl n, n - 2 = n + n.

Auf die gleiche Weise können wir eine unendliche Folge von Aussagen verkürzen, die durch oder verbunden sind:

1 ist gleich 5 + 5, oder 2 ist gleich 5 + 5, oder 3 ist gleich 5 + 5, ... oder 100 ist gleich 5 + 5, oder ..., usw.

die mittels existenzieller Quantifizierung umgeschrieben werden können:

Für mindestens eine natürliche Zahl n ist n gleich 5+5.

Die beiden am weitesten verbreiteten Quantifikatoren sind der universelle Quantifikator und der Existenzquantifikator.

Der universelle Quantifikator wird verwendet, um zu behaupten, dass für Elemente in einer Menge die Elemente alle einige Kriterien erfüllen. Gewöhnlich wird diese Aussage "für alle Elemente" auf ein auf den Kopf gestelltes "A" gekürzt, das "∀" lautet.

Der Existenzquantor wird verwendet, um zu behaupten, dass es für Elemente in einer Menge mindestens ein Element gibt, das einigen Kriterien entspricht. Gewöhnlich wird diese Aussage "es gibt ein Element" auf ein auf den Kopf gestelltes "E" gekürzt, das "∃" lautet.

Wir können eine englische Beispielaussage mit Symbolen, Prädikaten, die Kriterien darstellen, und Quantifikatoren umschreiben. Das Beispiel lautet: "Jeder von Peters Freunden tanzt entweder gerne oder geht gerne zum Strand". X sei die Menge aller Freunde Peters. Möge P(x) das Prädikat "x tanzt gern" sein. Seien wir Q(x) das Prädikat "x geht gern zum Strand". Wir können das Beispiel unter Verwendung der formalen Notation wie folgt umschreiben: ∀ x ∈ X , P ( x ) ∨ Q ( x ) {\darstellungsstil \für alle {x}{\in }X,P(x)\oder Q(x)} . Die Aussage kann gelesen werden als "für jedes x, das ein Mitglied von X ist, gilt P für x oder Q für x".

Es gibt andere Möglichkeiten, Quantifikatoren in der formalen Sprache zu verwenden. Jede der folgenden Aussagen unten sagt dasselbe wie ∃ x ∈ X , P ( x ) {\darstellungsweise \existiert {x}{\in }X,P(x)} :

• ∃ x P {\Anzeigestil \besteht {x}P}
• ( ∃ x ) P {\ansichtsstil (\existiert {x})P}
• ( ∃ x . P ) {\existiert x\ .\ P}
• ∃ x ⋅ P {\displaystyle \existiert x\ \cdot \ P}
• ( ∃ x : P ) {\ansichtsstil (\besteht x:P)}
• ∃ x ∈ X P {\Anzeigestil \besteht {x}{\in }X\,P}
• ∃ x : X P {\Anzeigestil \existiert \,x{:}X\,P}

Es gibt noch ein paar weitere Möglichkeiten, den universellen Quantifikator darzustellen:

• ( x ) P {\\ansichtsstil (x)\,P}
• ⋀ x P {\Anzeigestil \Grosskeil _{x}P}

Einige der obigen Aussagen beinhalten ausdrücklich X, die Menge der Elemente, auf die sich der Quantifikator bezieht. Diese Menge von Elementen wird auch als der Bereich der Quantifizierung oder das Universum des Diskurses bezeichnet. Einige der obigen Aussagen schließen eine solche Menge nicht ein. In diesem Fall muss die Menge vor der Aussage angegeben werden. Zum Beispiel muss "x ist ein Apfel" angegeben werden, bevor ∃ x P ( x ) {\darstellungsstil \existiert {x}P(x)} . In diesem Fall machen wir die Aussage, dass mindestens ein Apfel zum Prädikat P passt.

Die formale Verwendung von Quantifikatoren erfordert nicht die Verwendung des Symbols x. Das Symbol x wurde in diesem Artikel durchgängig verwendet, aber es kann jedes beliebige Symbol verwendet werden, wie z.B. y. Achten Sie bei der Auswahl von Symbolen darauf, nicht auf zwei verschiedene Dinge mit demselben Symbol zu verweisen.

Es ist wichtig, die Quantifikatoren in die richtige Reihenfolge zu bringen. Dies ist ein englischer Beispielsatz, der zeigt, wie sich die Bedeutung mit der Reihenfolge ändert:

Für jede natürliche Zahl n gibt es eine natürliche Zahl s, so dass s = n2.

Diese Aussage ist wahr. Sie besagt, dass jede natürliche Zahl ein Quadrat hat. Wenn wir jedoch die Reihenfolge der Quantifizierer umkehren:

Es gibt eine natürliche Zahl s, so dass für jede natürliche Zahl n, s = n2.

Diese Aussage ist falsch. Sie behauptet, dass es eine natürliche Zahl s gibt, die das Quadrat jeder natürlichen Zahl ist.

Unter bestimmten Umständen ändert die Änderung der Reihenfolge der Quantifizierer nicht die Bedeutung der Aussage. Zum Beispiel:

Es existiert eine natürliche Zahl x, und es existiert eine natürliche Zahl y, so dass x = y2.

Es gibt auch weniger gebräuchliche Quantifizierer, die von Mathematikern verwendet werden.

Ein Beispiel ist der Lösungsquantifikator. Er wird verwendet, um anzugeben, welche Elemente eine bestimmte Gleichung lösen. Der Lösungsquantifikator wird durch ein § (Abschnittszeichen) dargestellt. Zum Beispiel behauptet die folgende Aussage, dass die Quadrate von 0, 1 und 2 kleiner als 4 sind: [ § n ∈ N n 2 ≤ 4 ] = { 0 , 1 , 2 } {\Anzeigestil \links[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\links\{0,1,2\right\}}

Andere Quantifikatoren sind:

• Es gibt viele solche Elemente, die...
• Es gibt nur wenige Elemente, die...
• Es gibt unendlich viele solche Elemente, die...
• Für alle, außer endlich vielen Elementen... (manchmal ausgedrückt als "für fast alle Elemente...").
• Es gibt unzählig viele Elemente, wie zum Beispiel...
• Für alle, bis auf zählbar viele Elemente...

Die Begriffslogik wurde von Aristoteles entwickelt. Sie war eine frühe Form der Logik und beinhaltete die Quantifizierung. Der Gebrauch der Quantifizierung kam dem der natürlichen Sprache näher. Dies bedeutete, dass Aussagen in der Begriffslogik mit Quantifikatoren für die formale Analyse weniger geeignet waren. Die Begriffslogik umfasste im 4. Jahrhundert v. Chr. Quantifikatoren für Alle, Einige und Nein (keine).

1879 schuf Gottlob Frege eine Notation zur universellen Quantifizierung. Anders als heute würde er eine universelle Quantifizierung darstellen, indem er eine Variable über ein Grübchen in einer ansonsten geraden Linie schreibt. Frege schuf keine Notation für existentielle Quantifizierung. Stattdessen kombinierte er eine universelle Quantifizierung und eine Reihe von Negationen, um eine äquivalente Aussage zu machen. Freges Gebrauch der Quantifizierung war nicht allgemein bekannt, bis Bertrand Russell 1903 die "Principles of Mathematics" von Bertrand Russell veröffentlichte.

1885 schufen Charles Sanders Peirce und sein Schüler Oscar Howard Mitchell ebenfalls eine Notation für universelle und existentielle Quantifizierer. Sie schrieben _Πx und Σx, wo wir heute ∀x und ∃x schreiben. Die Notation von Pierce wurde bis in die 1950er Jahre von vielen Mathematikern verwendet.

1897 schufen William Ernest Johnson und Giuseppe Peano eine weitere Notation zur universellen und existentiellen Quantifizierung. Sie wurden von Pierce's früherer Quantifizierungsnotation beeinflusst. Johnson und Peano benutzten das einfache (x) für universelle Quantifizierung und ∃x für existenzielle Quantifizierung. Peanos Einfluss auf die Mathematik verbreitete diese Notation in ganz Europa.

1935 schuf Gerhard Gentzen das Symbol ∀ für universelle Quantifizierung. Es war bis in die 1960er Jahre nicht weit verbreitet.

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